13.16 Wechselstromgeräte
In Bild 13.198 siehst du ein Typenschild eines Elektrogeräts, das mit Wechselstrom betrieben wird. Warum kommt auf dem Schild ein \(\cos(\varphi)\) vor?
Bisher haben wir ohmschen Widerstand, kapazitiven Widerstand und induktiven Widerstand getrennt voneinander in einem Wechselstromkreis betrachtet. In diesem Kapitel werden wir uns mit der Kombination von unterschiedlichen Wechselstromwiderständen beschäftigen und klären, was es mit dem Winkel \(\varphi\) und seinem Kosinuswert auf sich hat.
13.16.1 RLC Parallelschaltung
In Bild 13.199 siehst du eine Parallelschaltung aus allen drei Sorten von Widerständen.
Da eine Parallelschaltung ein Stromteiler ist, setzt sich der Gesamtstrom aus drei Anteilen \(i_\text{R}\), \(i_\text{L}\) und \(i_\text{C}\) zusammen, die in den jeweiligen Stromzweigen fließen. Zeichnen wir jetzt in das Zeigerdiagramm in Bild 13.200 alle drei Ströme mit ihren Phasenwinkeln ein:
- \(I_\text{R}\) gleichphasig mit der Wechselspannung
- \(I_\text{C}\) um \(+90^\circ\) zum Spannungspfeil verdreht
- \(I_\text{L}\) um \(-90^\circ\) zum Spannungspfeil verdreht
Da die drei Ströme nicht die gleiche Phase haben, können ihre Beträge nicht einfach addiert werden, um den Gesamtstrom zu erhalten. Die Vektorsumme der Stromstärken der Blindwiderstände \(I_\text{C}\) und \(I_\text{L}\) ergeben zusammen den Blindstrom \(I_\text{X}\). Die Vektorsumme aller drei Teilströme, ebenso wie die Vektorsumme aus Blindstrom \(I_\text{X}\) und Wirkstrom \(I_\text{R}\), ergeben die Gesamtstromstärke \(I\).
Aus dem Zeigerdiagramm kannst du auch ablesen, dass sich die maximale Gesamtstromstärke \(I\) mithilfe des Satzes von Pythagoras ausrechnen lässt (pythagoreische Addition):
\[ I = \sqrt{I_\text{R}^2+I_\text{X}^2} = \sqrt{I_\text{R}^2+(I_\text{C}-I_\text{L})^2} \]
Nachdem der Wirkstrom \(I_\text{R}\) immer phasengleich zur Spannung \(U\) ist, kann der Phasenverschiebungswinkel \(\varphi\) nur Werte zwischen \(-90^\circ\) und \(+90^\circ\) annehmen (\(-90^\circ\leq \varphi \leq +90^\circ\)). Da der Tangens als das Verhältnis der beiden Katheten in einem rechtwinkeligen Dreieck definiert ist, erhältst du den Phasenverschiebungswinkel durch die Formel:
\[ \varphi = \tan^{-1}\left(\frac{I_\text{X}}{I_\text{R}}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{I_\text{C}-I_\text{L}}{I_R}\right) \]
13.16.2 Wechselstromwiderstand
Als Wechselstromwiderstand, Scheinwiderstand oder elektrische Impedanz (engl. electrical impedance) wird der Gesamtwiderstand in einem Wechselstromkreis bezeichnet. Das Formelzeichen ist \(Z\) und die Einheit ist das Ohm (\(\Omega\)).
\[ Z = \frac{U_\text{eff}}{I_\text{eff}} = \frac{U_\text{max}}{I_\text{max}} \]
Im Wechselstromwiderstand sind alle ohmschen, kapazitiven und induktiven Effekte eines Wechselstromkreises berücksichtigt. Anders als der Gesamtwiderstand bei einem Gleichstromkreis, ist der Wechselstromwiderstand nicht nur von seinen Bauteilen abhängig, sondern auch von der Frequenz der verwendeten Spannungsquelle.
Neben der Größe des Wechselstromwiderstands \(Z\) selbst ist auch noch der Impedanzwinkel \(\varphi\) (engl. impedance angle) – die Phasenverschiebung zwischen Spannungs- und Stromkurve – entscheidend. Eine vollständige Angabe des Wechselstromwiderstandes lautet daher:
\[ Z\angle{\varphi}\qquad (Z\ \text{und Winkel}\ \varphi) \]
Zum Beispiel \(8\;\mathrm{\Omega}\angle{20^\circ}\). Mit diesen beiden Informationen lassen sich aus dem Wechselstromwiderstand die Größen für den gesamten Wirkwiderstand (oder Resistanz) \(R\) und den gesamten Blindwiderstand \(X\) (oder Reaktanz) berechnen:
\[\begin{eqnarray} R & = & Z \cdot \cos(\varphi) \tag{13.41} \\ X & = & Z \cdot \sin(\varphi) \tag{13.42} \\ \end{eqnarray}\]
13.16.3 Komplexer Wechselstromwiderstand
Da das getrennte Berechnen von Impedanz und Impedanzwinkel mühsam ist, verwenden die Profis für die Berechnung der Impedanz komplexe Zahlen. Der Impedanzwinkel ist dann in der komplexen Impedanz \(\underline Z\) bereits enthalten!
Bild 13.201: komplexe Impedanz \(\underline Z\), Wirkwiderstand \(R\), Blindwiderstand \(X\) und Impedanzwinkel \(\varphi\) in der komplexen Zahlenebene
Die (reellen) Größen für den gesamten Wirkwiderstand (oder Resistanz) \(R\) und den gesamten Blindwiderstand \(X\) (oder Reaktanz) entsprechen dem Realteil und dem Imaginärteil der komplexen Impedanz \(\underline Z\):
\[\begin{eqnarray} R & = & \operatorname {Re}(\underline Z) \tag{13.43} \\ X & = & \operatorname {Im}(\underline Z) \tag{13.44} \\ \end{eqnarray}\]
Betrachten wir die Impedanz \(\underline Z\) in der komplexen Zahlenebene (Bild 13.201), sehen wir, dass sich der Impedanzwinkel \(\varphi\) durch das Verhältnis von Reaktanz \(X\) und Resistanz \(R\) ausdrücken lässt:
\[\begin{equation} \varphi =\tan^{-1} {\frac {\operatorname{Im}(\underline Z)}{\operatorname{Re}(\underline Z)}} \tag{13.45} \end{equation}\]
Durch den Satz des Pythagoras können wir die Größe des reellen Wechselstromwiderstandes \(Z\) (Betrag oder Länge der komplexen Impedanz \(\underline Z\)) so berechnen:
\[\begin{equation} Z = |\underline Z| = \sqrt{ (\operatorname{Re}(\underline Z))^2 + (\operatorname{Im}(\underline Z))^2} \tag{13.46} \end{equation}\]
Links:
13.16.4 RLC Serienschaltung
In Bild 13.202 siehst du eine serielle Schaltung aus allen drei Sorten von Widerständen.
Eine Serienschaltung ist ein Spannungsteiler. Die Gesamtwechselspannung \(u\) teilt sich zu jeder Zeit in drei Anteile auf: \(u_\text{R}\), \(u_\text{L}\) und \(u_\text{C}\).
Die Verhältnisse bei einer RLC-Serienschaltung lassen sich durch ein Zeigerdiagramm 13.203 mit den folgenden Zeigern verdeutlichen:
- \(U_\text{R}\) gleichphasig mit dem Wechselstrom
- \(U_\text{C}\) um \(-90^\circ\) zum Strompfeil verdreht (Strom eilt eine Viertelperiode voraus)
- \(U_\text{L}\) um \(+90^\circ\) zum Strompfeil verdreht (Strom hinkt eine Viertelperiode hinterher)
Die Vektorsumme aus allen drei Pfeilen ergibt den Gesamtspannungszeiger \(U\).
Im Zeigerdiagramm kannst du erkennen, dass die Zeiger \(U_\text{R}\) und \(U_\text{X}\) zu allen Zeiten die Katheten eines rechtwinkeligen Dreiecks bilden, mit der Seite \(U\) als Hypotenuse. Für die maximale Gesamtspannung gilt daher die folgende Beziehung (pythagoreische Addition):
\[ U = \sqrt{U_\text{R}^2+U_\text{X}^2} \]
Und mit der Differenz \(U_\text{X} = U_\text{L} - U_\text{C}\):
\[ U = \sqrt{U_\text{R}^2+(U_\text{L} - U_\text{C})^2} \]
Den Phasenverschiebungswinkel \(\varphi\) zwischen angelegter Spannung \(U\) und Stromstärke \(I\), berechnen wir über das Verhältnis von Gegenkathete \(U_\text{X}\) und Ankathete \(U_\text{R}\):
\[ \varphi = \tan^{-1}\left(\frac{U_\text{X}}{U_\text{R}}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{U_\text{L}-U_\text{C}}{U_R}\right) \]
Dabei kann \(\varphi\) nur Werte zwischen \(-90^\circ\) und \(+90^\circ\) annehmen (\(-90^\circ\leq \varphi \leq +90^\circ\)).
Die Spannungen bei einem Spannungsteiler stehen im selben Verhältnis wie die Widerstände, daher gilt:
\[ U_\text{R}:U_\text{C}:U_\text{L}(:U_\text{X}) = R:X_\text{C}:X_\text{L}(:X) \]
Für die Widerstände gelten damit dieselben Gesetzmäßigkeiten wie für die Spannungen:
\[\begin{equation} Z = \sqrt{R^2+X^2} = \sqrt{R^2+(X_\text{L}-X_\text{C})^2} \tag{13.47} \end{equation}\]
Und für den Phasenwinkel gilt:
\[\begin{equation} \varphi = \tan^{-1}\left(\frac{X}{R}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{X_\text{L}-X_\text{C}}{R}\right) \tag{13.48} \end{equation}\]
13.16.5 Konduktanz, Admittanz und Suszeptanz
Analog dem Leitwert (Kehrwert des Widerstands) werden auch die Kehrwerte der Wechselstromwiderstände benannt:
- Der Kehrwert des Wirkwiderstands heißt Wirkleitwert (Konduktanz) (engl. conductance) (Formelzeichen: \(G\)):
\[\begin{equation} G=\frac{1}{R} \tag{13.49} \end{equation}\]
- Der Kehrwert des Blindwiderstands heißt Blindleitwert (Suszeptanz) (engl. susceptance) (Formelzeichen: \(B\)):
\[\begin{equation} B=\frac{1}{X} \tag{13.50} \end{equation}\]
- Der Kehrwert der Impedanz heißt Scheinleitwert (Admittanz) (engl. admittance) (Formelzeichen: \(Y\)):
\[\begin{equation} Y=\frac{1}{Z} \tag{13.51} \end{equation}\]
Ihre Einheit ist – wie die des Leitwerts – das Siemens (\(\mathrm{S}=1/\Omega\)).
13.16.6 Leistungsfaktor
In der Praxis haben wir selten nur Wirkleistung (rein ohmscher Widerstand, \(\varphi = 0\)) oder nur Blindleistung (rein kapazitiver oder induktiver Widerstand, \(\varphi = \pm 90^\circ\)). Eine reale Schaltung enthält immer ohmsche, kapazitive und induktive Anteile und damit ist die Phasendifferenz \(\varphi\) irgendwo zwischen diesen Extremwerten (Bild 13.204).
Die Leistung für jeden RLC Wechselstromkreis lässt sich in einem rechtwinkeligen Dreieck veranschaulichen (Bild 13.205). Es besteht aus folgenden Seiten:
- Scheinleistung \(S\): die Leistung, die von der Spannungsquelle aufgebracht werden muss (Hypotenuse).
- Wirkleistung \(P\): die Leistung, die in andere Energieformen umgewandelt wird (Ankathete).
- Blindleistung \(Q\): die Leistung, im Blindwiderstand zwischengespeichert wird und der Spannungsquelle zurückgegeben wird (Gegenkathete).
Das Leistungsdreieck wird dabei immer so gezeichnet, dass die Wirkleistung waagrecht und die Blindleistung senkrecht steht.
Mithilfe dieses rechtwinkeligen Dreiecks und den Definitionen der Winkelfunktionen lassen sich die einzelnen Leistungen einfach berechnen:
- Scheinleistung: \(S=U_\text{eff}\cdot I_\text{eff}\)
- Wirkleistung: \(P=U_\text{eff}\cdot I_\text{eff}\cdot\cos(\varphi)\)
- Blindleistung: \(Q=U_\text{eff}\cdot I_\text{eff}\cdot\sin(\varphi)\)
Der Faktor \(\cos(\varphi)\) gibt also an, welcher Teil der Scheinleistung tatsächlich dauerhaft in andere Energieformen umgewandelt wird. Er wird als Leistungsfaktor \(PF\) (engl. power factor) bezeichnet. Ein Leistungsfaktor von eins bedeutet, dass die Scheinleistung gleich der Wirkleistung ist – es kommen keine Blindströme vor. Ein Leistungsfaktor von null bedeutet, dass die Wirkleistung null ist und nur Blindströme im Stromkreis fließen.
13.16.7 Blindleistungskompensation
In einem idealen Stromkreis wäre ein Blindstrom kein Problem, da die Energie nur zwischen Spannungsquelle und Blindwiderstand hin- und herwandert. In der Realität bewirkt jedoch auch der Blindstrom einen ständigen (wenn auch kleinen) Wärmeverlust durch die Leitungen.
Egal aus welchen Bauteilen ein Wechselstromgerät tatsächlich aufgebaut ist, von außen kann es durch eine Parallelschaltung von Widerstand, Spule und Kondensator aufgebaut gedacht werden (Ersatzschaltbild eines Verbrauchers, Bild 13.206).
In der Praxis enthalten Elektrogeräte daher einen sogenannten Phasenschiebekondensator (engl. phase shifter) – einen zusätzlichen Kondensator, dessen Größe so gewählt wird, dass der Blindstrom verschwindet und der gesamte Strom nur Wirkleistung erbringt. Der Leistungsfaktor ist nach der Korrektur durch den Phasenschiebekondensator eins.
13.16.8 Anwendungsbeispiel: RLC Parallelschaltung
Gegeben ist ein Stromkreis bestehend aus einer Wechselspannungsquelle (\(24\;\mathrm{V}\), \(1\,000\;\mathrm{Hz}\)) und einer Parallelschaltung eines Widerstandes (\(50\;\mathrm{\Omega}\)), einem Kondensator (\(10\;\mathrm{\mu F}\)) und einer Spule (\(5\;\mathrm{mH}\)). Berechne alle Ströme und den Phasenverschiebungswinkel.
Bevor wir die Ströme berechnen können, benötigen wir den frequenzabhängigen kapazitiven und induktiven Widerstand:
\[ \begin{aligned} X_\text{C} = {} & \frac{1}{\omega\cdot C} \\ = {} & \frac{1}{2\pi\cdot f\cdot C} \\ = {} & \frac{1}{2\pi\cdot 1\,000\;\mathrm{Hz}\cdot 1\cdot 10^{-5}\;\mathrm{F}} \\ = {} & 15{,}91\ldots\;\mathrm{\Omega} \\ \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} X_\text{L} = {} & \omega\cdot L \\ = {} & 2\pi\cdot f \cdot L \\ = {} & 2\pi\cdot 1\,000\;\mathrm{Hz} \cdot 0{,}005\;\mathrm{H}\\ = {} & 31{,}41\ldots\;\mathrm{\Omega} \\ \end{aligned} \]
Mit den Widerstandswerten können wir jetzt die einzelnen (maximalen) Teilströme berechnen:
\[ I_\text{R} = \frac{U}{R} = \frac{24\;\mathrm{V}}{50\;\mathrm{\Omega}} = 0{,}48\;\mathrm{A} \]
\[ I_\text{C} = \frac{U}{X_\text{C}} = \frac{24\;\mathrm{V}}{15{,}91\ldots\;\mathrm{\Omega}} = 1{,}50\ldots\;\mathrm{A} \]
\[ I_\text{L} = \frac{U}{X_\text{L}} = \frac{24\;\mathrm{V}}{31{,}41\ldots\;\mathrm{\Omega}} = 0{,}76\ldots\;\mathrm{A} \]
Tragen wir die Stromwerte mit den entsprechenden Richtungen auf, erhalten wir einen Überblick (Bild 13.207) über die Ströme.
Bild 13.207: Induktiver Strom \(I_\text{L}\), kapazitiver Strom \(I_\text{C}\), Blindstrom \(I_\text{X}\), Wirkstrom \(I_\text{R}\), Gesamtstrom \(I\) und Impedanzwinkel \(\varphi\)
Der Blindstrom ist die Differenz von kapazitiven und induktiven Strom:
\[ I_\text{X} = I_\text{C} - I_\text{L} = 1{,}50\ldots\;\mathrm{A} - 0{,}76\ldots\;\mathrm{A} = 0{,}74\ldots\;\mathrm{A} \]
Der (maximale) Gesamtstrom ist die pythagoreische Summe aus Blind- und Wirkwiderstand:
\[ I = \sqrt{I^2_\text{X} + I^2_\text{R}} = \sqrt{0{,}74\ldots^2 + 0{,}48^2} = 0{,}88\ldots\;\mathrm{A} \]
Der Phasenverschiebungswinkel \(\varphi\) ergibt sich aus dem Verhältnis von Blind- und Wirkwiderstand:
\[ \varphi = \tan^{-1}\left(\frac{I_\text{X}}{I_\text{R}}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{0{,}74\ldots}{0{,}48}\right) = 57{,}17\ldots^\circ \]
