11.6 Elektrischer Strom und Leitfähigkeit

In Bild 11.46 siehst du einen sogenannten Lichtbogen. Er entsteht wenn Luft elektrisch leitend wird.

Lichtbogen zwischen zwei Stahlnägeln

Bild 11.46: Lichtbogen zwischen zwei Stahlnägeln

In diesem Kapitel geht es um den elektrischen Strom und um die Leitfähigkeit von Stoffen.

11.6.1 Elektrischer Strom

Als elektrischen Strom wird die gerichtete Bewegung von elektrischen Ladungen durch einen Festkörper, eine Flüssigkeit oder ein Gas bezeichnet. Die Größe des elektrischen Stromes wird mit der elektrischen Stromstärke \(I\) (engl. electric current) angegeben. Die elektrische Stromstärke gibt an, wie viel Ladung pro Sekunde durch einen Querschnitt fließt (11.47).

Stromstärke in einem Metall

Bild 11.47: Stromstärke in einem Metall

Definition der elektrischen Stromstärke:

\[ I={\frac {\Delta Q}{\Delta t}} \tag{11.6} \]

In dieser Formel bedeuten

  • \(I\) elektrische Stromstärke (in \(\mathrm{C/s}\))
  • \(\Delta Q\) Ladungsmenge, die durch den Querschnitt fließt (in \(\mathrm{C}\))
  • \(\Delta t\) gemessene Zeit (in \(\mathrm{s}\))

Die Einheit der elektrischen Stromstärke „Coulomb pro Sekunde“ wird zu Ehren von André-Marie Ampère auch Ampere genannt und ist eine der sieben SI-Basisgrößen (1.8.2).

\[ [I] ={\frac {[\Delta Q]}{[\Delta t]}} ={\frac {1\;\mathrm{C}}{1\;\mathrm{s}}} =1\;\mathrm{C}\mathrm{s}^{-1} =1\;\mathrm{A} \]

In einem metallischen Leiter bewegen sich nur die Elektronen durch den Querschnitt. Da Elektronen aber eine sehr kleine Ladung besitzen (Elementarladung 11.1.2), bewegen sich bei einem Strom von \(1\;\mathrm{A}\) unglaubliche \(6\cdot 10^{18}\) (oder 6 Trillionen) Elektronen pro Sekunde durch den Leiterquerschnitt!

Dabei bewegen sich die Elektronen nur sehr langsam – einige Millimeter pro Sekunde (siehe Rechenaufgabe 11.6.11). Trotz der langsamen Geschwindigkeit der Elektronen können Signale mit fast Lichtgeschwindigkeit durch elektrischen Strom übertragen werden. Wenn du den Lichtschalter einschaltest, müssen die Elektronen nicht erst vom Lichtschalter zur Lampe gelangen. Nach dem Einschalten setzen sich alle Leitungselektronen nahezu gleichzeitig in Bewegung. Daher wird es fast unmittelbar hell.

Die tatsächliche Bewegungsrichtung der Ladungsträger (physikalische Stromrichtung) hängt von deren Vorzeichen ab. Daher kann die Bewegungsrichtung der Ladungen im einen Fall von Plus nach Minus erfolgen oder aber auch umgekehrt. Um nicht immer darauf achten zu müssen, wurde die technische Stromrichtung von Plus nach Minus festgelegt (\(\oplus\rightarrow\ominus\)) – also in dieselbe Richtung wie die elektrischen Feldlinien. In Metallen bewegen sich nur Elektronen, daher ist dort die physikalische Stromrichtung und die technische Stromrichtung immer entgegen gesetzt (\(\ominus\rightarrow\oplus\)). Ist nur von Stromrichtung die Rede, ist immer die technische Stromrichtung gemeint.

Obwohl wir von Stromrichtung sprechen, beinhaltet die Definition der elektrischen Stromstärke ((11.6)) keine Richtungsinformation im vektoriellen Sinne – die Stromstärke ist eine Zahl (Skalar) und kein Vektor.

11.6.2 Elektrischer Widerstand

Legst du an einen elektrischen Leiter oder einen Bauteil eine Spannung an, stellt sich eine bestimmte Stromstärke ein. Veränderst du die Spannung, verändert sich auch die Stromstärke. Der Zusammenhang zwischen Spannung und Stromstärke wird Kennlinie (engl. current–voltage characteristic) genannt und ist charakteristisch für einen Bauteil. In Bild 11.48 siehst du diese Kurven für einige Bauteile, zum Beispiel eine Metallfadenlampe (2) oder einen Varistor (Voltage Dependent Resistor) (5).

Kennlinien unterschiedlicher Bauteile

Bild 11.48: Kennlinien unterschiedlicher Bauteile

Wie du an den Kennlinien sehen kannst, gibt es im allgemeinen kein konstantes Verhältnis von Spannung und Stromstärke.

11.6.3 Ohmsches Gesetz

Viele Drähte und auch der Kohleschichtwiderstand (11.48, Kurve 3) haben eine besonders einfache Kennlinie – eine Gerade durch den Ursprung. Widerstände, deren Kennlinie eine Ursprungsgerade ist, werden Ohmsche Widerstände genannt. Sie sind in Schaltungen sehr wichtig, weil sie ein konstantes Verhältnis von Spannung und Stromstärke für einen großen Spannungsbereich beibehalten.

\[ R=\frac{U}{I} \tag{11.7} \]

In dieser Formel steht

  • \(I\) für die Stromstärke (in \(\mathrm{A}\))
  • \(U\) für die anglegte Spannung (in \(\mathrm{V}\))
  • \(R\) für den ohmschen Widerstand (in \(\mathrm{V}/\mathrm{A}\))

Dieser Zusammenhang wird nach seinem Entdecker Georg Simon Ohm das Ohmsche Gesetz (engl. Ohm’s law) genannt.

Die Einheit für den elektrischen Widerstand ist

\[ [R]= \frac{[U]}{[I]}= \frac{1\;\mathrm{V}}{1\;\mathrm{A}}= 1\;\mathrm{\Omega} \]

Die Einheit „Volt pro Ampere“ hat die Kurzbezeichnung Ohm. Als Symbol für die Einheit Ohm wird der griechische Großbuchstabe Omega (\(\mathrm{\Omega}\)) verwendet.

Im Gegensatz zu Zusammenhängen, wie dem dynamischen Grundgesetz (3.3.3) oder dem Coulombschen Kraftgesetz (11.2.6), ist das Ohmsche Gesetz kein allgemein gültiges Naturgesetz! Es gilt nur für bestimmte Materialien und auch dort nur für einen bestimmten Spannungsbereich (linearer Bereich).

Ohmsches (URI) Dreieck

Bild 11.49: Ohmsches (URI) Dreieck

Das URI-Dreieck (Bild 11.49) ist eine Merkhilfe für das Ohmsche Gesetz. In einem Dreieck steht oben die Spannung \(U\), links unten der Widerstand \(R\) und die Stromstärke \(I\) rechts unten. Deckst du die gesuchte Größe mit dem Finger ab, erhältst du den Rest der Formel.

Links:

11.6.4 Spezifischer Widerstand

Der Widerstand eines Körpers hängt nicht nur von seinem Material, sondern auch von seiner Geometrie ab (Bild 11.50).

Geometrie eines Widerstands

Bild 11.50: Geometrie eines Widerstands

  • Verdoppelt sich die Querschnittsfläche, können doppelt so viele Elektronen pro Zeiteinheit durch den Querschnitt wandern. Der elektrische Widerstand ist also indirekt proportional zur Querschnittsfläche des Materials.

  • Verdoppelt sich die Länge des Materials, werden die Elektronen auf einer doppelt so langen Strecke bei ihrer Bewegung gehindert. Der elektrische Widerstand ist also direkt proportional zur Länge des Materials.

Bezeichnen wir mit \(A\) die Querschnittsfläche des Körpers und mit \(l\) seine Länge, ist der Widerstand proportional zu \(l/A\). Der zugehörige Proportionalitätsfaktor wird mit \(\rho\) bezeichnet

\[ R=\rho \cdot \frac{l}{A} \tag{11.8} \]

In dieser Gleichung bedeuten

  • \(R\) der Widerstand (in \(\mathrm{\Omega}\))
  • \(l\) der Länge des Körpers (in \(\mathrm{m}\))
  • \(A\) die Querschnittsfläche (in \(\mathrm{m}^2\))
  • \(\rho\) der spezifische Widerstand (in \(\mathrm{\Omega m}\))

Der spezifische Widerstand (engl. electrical resistivity) ist eine materialabhängige Größe, die in Tabellen nachgeschlagen werden kann.

Für die Einheit des spezifischen Widerstandes erhältst du durch Umformung

\[ [\rho]= \frac{[R]\cdot [A]}{[l]}= \frac{\mathrm{\Omega}\cdot \mathrm{m}^2}{\mathrm{m}}=\mathrm{\Omega}\cdot \mathrm{m} \]

Die Einheit „Ohm-Meter“ hat keine Kurzbezeichnung.

Je nach der Größe ihres elektrischen Widerstands lassen sich Stoffe in drei Gruppen einteilen:

  • Elektrische Leiter: Metalle haben einen sehr geringen elektrischen Widerstand. Er liegt in der Größenordnung von \(10^{-8}\;\mathrm{\Omega m}\). Der von Kupfer beträgt zum Beispiel \(1{,}7\cdot 10^{-8}\;\mathrm{\Omega m}\).

  • Elektrische Nicht-Leiter (Isolatoren): Isolatoren haben einen extrem großen elektrischen Widerstand. Er liegt in der Größenordnung von \(10^{8}-10^{23}\;\mathrm{\Omega m}\). Der von Hartgummi beträgt zum Beispiel \(10^{19}\;\mathrm{\Omega m}\).

  • Elektrische Halbleiter: Halbleiter liegen zwischen den beiden Extremen von Leiter und Nicht-Leiter. Ihr elektrischer Widerstand liegt in der Größenordnung von \(1\;\mathrm{\Omega m}\). Der von Germanium beträgt zum Beispiel \(0{,}5\;\mathrm{\Omega m}\). Außerdem nimmt ihre Leitfähigkeit im allgemeinen durch äußere Einflüsse wie Licht oder Temperatur zu. Sie sind ganz wichtige Stoffe für Halbleiterbauteile.

Der spezifische Widerstand ist außerdem abhängig von der Temperatur. Die oben angegebenen Werte gelten für eine Temperatur von \(20\;^\circ\mathrm{C}\). Die Metalllegierung Konstantan ist eine der wenigen Ausnahmen. Sie ist so aufgebaut, dass ihr Widerstand über einen großen Temperaturbereich unverändert bleibt.

Werden Metalle unter ihre Sprungtemperatur (die meist nahe dem absoluten Nullpunkt liegt) abgekühlt, verschwindet ihr elektrischer Widerstand vollständig. Dieser Effekt wird Supraleitung genannt.

Links:

11.6.5 Elektrische Leitfähigkeit

Manchmal wird statt des Widerstands eines Körpers seine elektrische Leitfähigkeit (engl. electrical conductance) angegeben. Im Gegensatz zum elektrischen Widerstand beschreibt die elektrische Leitfähigkeit, wie gut ein Körper leitet. Daher sind die Größen elektrischer Widerstand \(R\) und elektrische Leitfähigkeit \(G\) zu einander reziprok.

\[ G=\frac{1}{R} \]

Die Einheit der elektrischen Leitfähigkeit ist

\[ [G]= \frac{1}{[R]}= \frac{1}{1\;\mathrm{\Omega}}=1\;\mathrm{S} \]

Die Einheit „pro Ohm“ hat den Namen Siemens (\(\mathrm{S}\)) zu Ehren von Werner von Siemens.

11.6.6 Mikroskopisches Modell des elektrischen Widerstandes eines Leiters

Vielleicht hast du dich über folgendes gewundert: In einem elektrischen Feld mit einem konstanten Potenzialgefälle (Spannung) erfahren Elektronen eine Kraft von \(F=e\cdot E\). Wirkt eine konstante Kraft, wird nach dem Dynamischen Grundgesetz (3.3.3) ein Teilchen konstant beschleunigt. Warum messen wir entlang eines Leiters dann immer dieselbe Stromstärke?

Die Leitungselektronen bewegen sich nicht im Vakuum, sondern müssen sich den Raum mit dem Metallgitter des Leiters teilen. Die freien Elektronen werden tatsächlich im Feld beschleunigt, stoßen aber nach kürzester Zeit mit Metallionen zusammen und geben einen Teil ihrer Bewegungsenergie ab (Bild 11.51). Diese wird in ungeordnete innere Energie (12.3.3) des Metalls umgewandelt.

Mikroskopisches Modell des elektrischen Widerstandes eines Leiters

Bild 11.51: Mikroskopisches Modell des elektrischen Widerstandes eines Leiters

Dieser Bewegung ist außerdem eine ständige ungeordnete thermische Bewegung der Elektronen überlagert. Diese behindert mit steigender Temperatur ihre Bewegung durch das elektrische Feld. Aus diesem Grund wird der Widerstand von Metallen mit zunehmender Temperatur größer.

Aus diesem Grund ist es angebracht, bei einem Stromfluss nicht von der Geschwindigkeit der Elektronen zu sprechen, sondern von ihrer Drift- oder Strömungsgeschwindigkeit, also dem gerichteten Anteil ihrer Bewegung gegen die Feldrichtung.

Wenn du bedenkst, was sich alles im Inneren eines Leiters abspielt, ist es verblüffend, dass ein so einfacher mathematischer Zusammenhang wie das Ohmsche Gesetz (Gleichung (11.7)) den Zusammenhang von Spannung und Stromstärke für viele Metalle beschreiben kann.

11.6.7 Widerstand (Bauteil)

Im Gegensatz zum Englischen wird im Deutschen zwischen dem Effekt des elektrischen Widerstandes (engl. resistance) und dem Bauteil Widerstand (engl. resistor) sprachlich nicht unterschieden. Ist der Bauteil gemeint, verwenden wir den Begriff „Widerstand“, sonst „elektrischer Widerstand“.

Widerstände (Bild 11.52) werden in elektrischen Schaltungen verwendet, um Ströme zu begrenzen. Dabei nehmen Widerstände elektrische Energie auf und geben sie als Wärme an die Umgebung ab (Ohmsche Wirkung).

Schichtwiderstände

Bild 11.52: Schichtwiderstände

Widerstandswerte werden durch ein System aus vier oder fünf farbigen Ringen angegeben.

Beispiel Widerstand mit Farbcode

Bild 11.53: Beispiel Widerstand mit Farbcode

In Bild 11.53 siehst du ein Beispiel für einen konkreten Widerstand. Halte den Widerstand so, dass die Gruppe mit den meisten Ringen links ist. Dann kannst du ablesen: Rot (\(2\)), Violett (\(7\)), Grün (\(\times 100\;\mathrm{k\Omega}\)), Gold (\(\pm5\%\)). Daraus ergibt sich der Widerstandswert von

\[ R=27\cdot 100\cdot \mathrm{k\Omega} = 2{,}7\;\mathrm{M\Omega} \]

mit einer Toleranz von \(\pm5\%\). Die Werte für die Farben der Ringe findest du in entsprechenden Farbcode-Tabellen.

Durch die Ringcodierung ist der Widerstandswert auch bei kleinen Bauteilen leserlich angebracht. Außerdem sind die Ringe, unabhängig von der Position (Verdrehung) in der der Widerstand eingelötet ist, immer lesbar.

11.6.8 Elektrischer Strom in Flüssigkeiten

Während in Metallen nur Elektronen die bewegten Ladungsträger sind, tragen in leitenden Flüssigkeiten (Elektrolyte) positiv und negativ geladene Atome (Ionen) zum Stromfluss bei.

Dabei gilt:

  • positiv geladene Ionen (Kationen) wandern zum negativen Pol (Kathode) und
  • negativ geladenen Ionen (Anionen) wandern zum positiven Pol (Anode).

Für Anionen, entspricht die technische Stromrichtung auch der tatsächlichen Driftrichtung der Ladungsträger.

Vergleich von Stromstärken

Bild 11.54: Vergleich von Stromstärken

In Bild 11.54 ist der Stromfluss in (b) größer als in (a) (unter der Voraussetzung, dass alle Ladungen den selben Betrag haben), weil insgesamt mehr Ladungsträger pro Sekunde durch den Querschnitt driften – ungleiche Ladungen haben auch entgegen gesetzte Bewegungsrichtung.

Zinn-Krug mit Nickel galvanisch beschichtet

Bild 11.55: Zinn-Krug mit Nickel galvanisch beschichtet

Zusätzlich zum Transport von Ladungen findet in Flüssigkeiten auch immer ein Stofftransport statt. Das wird beim sogenannten Galvanisieren verwendet, um Oberflächen zu beschichten (Bild 11.55).

11.6.9 Elektrischer Strom in Gasen

Gase sind in der Regel gute Isolatoren. Zwar sind in der Luft immer ein paar Ionen vorhanden, die aber zu keinem nennenswerten Stromfluss führen. Bei sehr hohen Feldstärken (11.3.1) von rund \(3{.}000{.}000\;\mathrm{V/m}\) allerdings werden diese wenigen Ionen so stark beschleunigt, dass sie durch Kollision mit neutralen Atomen diesen ein Elektron herausschlagen (Stoßionisation). Dadurch entstehen neue freie Elektronen und Ionen, die ihrerseits beschleunigt werden und weitere Atome ionisieren. In einer Kettenreaktion entstehen so viele frei bewegliche Ladungen in kurzer Zeit – das Gas wird elektrisch leitend. Da die Elektronen eine viel geringere Masse als die Ionen haben, sind hauptsächlich sie für den Strom verantwortlich.

Leuchterscheinung bei einer Plasmalampe

Bild 11.56: Leuchterscheinung bei einer Plasmalampe

Bei dem elektrischen Stromfluss in Gasen kommt es meist zu Leuchterscheinungen (langanhaltente Lichtbögen oder kurzfristige Blitze). Sie kommen dadurch zustande, dass einige der Ionen wieder Elektronen aufnehmen. Bei dieser Rekombination wird ein Lichtteilchen (Photon) ausgesendet.

Bei einer Plasma-Lampe (Bild 11.56) liegt eine hohe Spannung zwischen dem Kontakt im Kugelmittelpunkt und dem Gegenpol – die Umgebung der Glaskugel oder der Mensch, der sie berührt. Das verdünnte Gasgemisch in der Kugel ist so gewählt, dass es bei verhältnismäßig kleinen Spannungen (einige Kilovolt) zur Stoßanregung und Rekombination kommt.

11.6.10 Elektrische Arbeit und Leistung

Fließt elektrischer Strom, werden ständig Ladungen in einem elektrischen Feld bewegt. Die elektrische Spannung (11.5.2) ist die Verschiebearbeit für die Ladung \(1\;\mathrm{C}\). Die entsprechende Leistung (4.4.1) ist

\[ P_{1\mathrm{C}}=\frac{W_{1\mathrm{C}}}{t}=\frac{U}{t} \]

Für die Leistung der gesamten Ladung \(Q\) gilt

\[ P=Q\cdot P_{1\mathrm{C}}=Q\cdot \frac{U}{t}=\frac{Q}{t}\cdot U \]

Der Ausdruck \(Q/t\) entspricht aber genau der Definition der Stromstärke \(I\) (11.6.1). Daher gilt:

Die elektrische Leistung ist das Produkt aus Spannung und Stromstärke.

\[ P = U \cdot I \tag{11.9} \]

Die Einheit ist das Watt (\(\mathrm{W}\)). Auf der Stromrechnung wird der „Stromverbrauch“ in der Einheit Kilowattstunde (\(\mathrm{kWh}\)) angegeben. Dabei handelt es sich um das Produkt aus einer Leistung (\(\mathrm{kW}\)) und einer Zeit (\(\mathrm{h}\)).

\[ P\cdot t = W \]

Dieser Ausdruck entspricht einer physikalischen Arbeit. Der Stromnetzbetreiber verrechnet die bereitgestellte elektrische Energie. In der Einheit Joule entspricht das

\[ 1\;\mathrm{kWh} = 1000\;\mathrm{Wh} = 1000\cdot 3600\;\mathrm{Ws} = 3{.}600{.}000\;\mathrm{J} \]

11.6.11 Rechenbeispiel: Driftgeschwindigkeit Elektronen in einem Leiter

Bei einem Kupferkabel (Querschnitt \(0{,}75\;\mathrm{mm}^2\)) fließt ein Strom von \(1\;\mathrm{A}\). In Kupfer befinden sich rund \(1\cdot 10^{29}\) (ungebundene) Leitungselektronen pro Kubikmeter. Berechne die Strömungsgeschwindigkeit der Elektronen.

Zuerst wandeln wir die angegebene Querschnittsfläche in Quadratmeter um, damit wir später problemlos einsetzen können.

\[ A = 0{,}75\;\mathrm{mm}^2 = 7{,}5\cdot 10^{-7}\;\mathrm{m}^2 \]

Wir gehen davon aus, dass sich alle Elektronen mit derselben Driftgeschwindigkeit \(v\) durch den Leiter bewegen. In der Zeit \(\Delta t\) bewegen sich dann alle Elektronen, die sich im Zylindervolumen \(A\cdot \Delta x\) befinden, durch den Querschnitt (Bild 11.57).

Verschiebung des Zylindervolumen an einer Messstelle

Bild 11.57: Verschiebung des Zylindervolumen an einer Messstelle

Mit

\[ v=\frac{\Delta x}{\Delta t}\qquad\Rightarrow\qquad \Delta x=v\cdot \Delta t \] lässt sich das Zylindervolumen als \(A\cdot v\cdot \Delta t\) schreiben.

Die Gesamtladung \(\Delta Q\), die durch den Querschnitt in der Zeit \(\Delta t\) wandert, ist

\[ \Delta Q = e\cdot n\cdot A\cdot v\cdot \Delta t \]

mit \(e\) der Ladung eines einzelnen Elektrons (Elementarladung 11.1.2) und \(n\) der Leiterelektronendichte aus der Angabe.

Umformen der Gleichung nach \(v\) liefert

\[ \begin{aligned} v = {} & \frac{\Delta Q}{e\cdot n\cdot A\cdot \Delta t} \\ = {} & \frac{1}{e\cdot n\cdot A}\cdot \frac{\Delta Q}{ \Delta t} \\ = {} & \frac{1}{e\cdot n\cdot A}\cdot I \\ \end{aligned} \]

Einsetzen der Werte aus der Angabe liefert den Wert

\[ v= \frac{I}{e\cdot n\cdot A}= \frac{1}{1{,}6\cdot 10^{-19}\cdot 1\cdot 10^{29}\cdot 7{,}5\cdot 10^{-7}}= 8{,}33...\cdot 10^{-5}\;\mathrm{m/s} \]

oder

\[ 0{,}083...\;\mathrm{mm/s} \]

für die gesuchte Driftgeschwindigkeit der Elektronen durch den Leiterquerschnitt. Das ist extrem langsam!!! Wenn etwa eine Lampe eine Stunde lang brennt, sind die Elektronen, die beim Schalter begonnen haben gerade einmal \(30\;\mathrm{cm}\) in Richtung der Lampe gewandert. Das heißt, dass die Lampe von anderen Elektronen (alle sind ja gleichzeitig mit derselben Geschwindigkeit unterwegs) zum Leuchten gebracht wurde.