12.14 Ideale Kreisprozesse und Wirkungsgrad

In Bild 12.81 siehst du eine abgefeuerte Kugel aus einem Revolver.

Hochgeschwindigkeitsfoto von einer abgefeuerten Kugel

Bild 12.81: Hochgeschwindigkeitsfoto von einer abgefeuerten Kugel

Das entspricht thermodynamisch einer adiabatischen Expansion (12.13.7), bei der – wenn wir Reibung vernachlässigen – die entstehende Wärme vollständig in Bewegungsenergie umgewandelt wird. Allerdings handelt es sich dabei um eine einmalige Umwandlung von Wärme in mechanische Arbeit. In der Praxis sind vor allem Prozesse von Bedeutung, bei denen es zu einer wiederholten Umwandlung von Wärme in mechanische Arbeit kommt. Um diese Prozesse geht es in diesem Kapitel. Zunächst werden wir uns mit dem Begriff des Kreisprozesses näher beschäftigen und uns dann der Frage nach dem maximalen Wirkungsgrad von Maschinen widmen.

12.14.1 Kreisprozess

In Bild 12.82 siehst du die adiabatische Expansion eines Gases im p-V-Diagramm, zum Beispiel für die abgefeuerte Kugel aus der Kapitel-Einleitung (Kurvenstück 1). Die Fläche unter der Kurve entspricht der vom Gas verrichteten Arbeit (Beschleunigungsenergie 4.2.4) an der Kugel.

Herstellen des ursprünglichen thermodynamischen Zustands

Bild 12.82: Herstellen des ursprünglichen thermodynamischen Zustands

Stellen wir uns stattdessen einen Kolben in einem gasgefüllten Zylinder vor, der adiabatisch expandiert. Um eine wiederholte Umwandlung von Wärme in mechanische Arbeit zu erhalten, muss die Expansion irgendwann unterbrochen werden und der Kolben durch weitere thermodynamische Prozesse wieder in den ursprüngliche Zustand übergeführt werden. In unserem Beispieldiagramm 12.82 sind das eine isobare Kompression (Kurvenstück 2) und eine isochore Erwärmung (Kurvenstück 3). Jetzt kann der Zyklus erneut beginnen.

Ein Kreisprozess ist eine Kombination aus unterschiedlichen Zustandsänderungen, die eine Arbeitssubstanz (meist ein Gas) periodisch wieder in den ursprünglichen Zustand zurückversetzen. Dabei muss immer auch Arbeit von außen aufgebracht werden, um den Kreislauf zur schließen! Diese Schritte werden bei Motoren auch „Takte“ genannt, um anzudeuten, dass sie sich in regelmäßigen Abständen wiederholen.

Viele Kreisprozesse bestehen aus einer Kombination von vier paarweise verschiedenen thermodynamischen Prozessen, zum Beispiel aus zwei isothermen und zwei isochoren Zustandsänderungen (Sterling-Kreisprozess (12.14.7)) oder zwei isothermen und zwei adiabatischen Zustandsänderungen (Carnot-Kreisprozess (12.14.10)).

Je nachdem in welcher Richtung ein Kreisprozess im p-V-Diagramm durchlaufen wird, spricht man von einer Wärmekraftmaschine (Uhrzeigersinn) oder einer Wärmepumpe/Kältemaschine (Gegenuhrzeigersinn).

12.14.2 Energiefluss bei einem Kreisprozess

Um den Ausgangszustand im p-V-Diagramm wieder zu erreichen, muss immer ein Teil der zugeführten Wärme für die Rückführung des Prozesses aufgewendet werden. Dieser Teil der Wärmeenergie steht nicht zur Umwandlung in mechanische Energie zur Verfügung und wird als abgeführte Wärme bezeichnet.

Bei einer kontinuierlichen oder zyklischen Umwandlung von Wärme in Arbeit muss immer auch Wärme im Laufe des Kreisprozesses abgeführt werden.

Der Energiefluss einer Wärmekraftmaschine ist in Bild 12.83 zusammengefasst.

Energieflussdiagramm Wärmekraftmaschine

Bild 12.83: Energieflussdiagramm Wärmekraftmaschine

Die Maschine entnimmt der Wärmequelle die Wärmemenge \(Q_H\) und gibt einen Teil dieser Wärme \(Q_K\) an eine Wärmesenke (Umgebung) ab. Die Differenz \(Q_H-Q_K\) ist die nutzbare mechanische Arbeit \(W\). Die Bezeichnungen „Quelle“ und „Senke“ für die beiden Wärmebereiche sind ein Hinweis darauf, in welche Richtung die Wärme von selbst fließen würde.

In Bild 12.84 siehst du den Energiefluss einer umgekehrt arbeitenden Wärmekraftmaschine – einer Wärmepumpe.

Energieflussdiagramm Wärmepumpe

Bild 12.84: Energieflussdiagramm Wärmepumpe

Die Maschine entnimmt der Wärmesenke mit Hilfe der mechanischen Arbeit \(W\) die Wärme \(Q_K\) und gibt sie als Wärme \(Q_H\) an die Wärmequelle ab. Hier muss also (meist mechanische) Energie zugeführt werden, damit Wärme vom kälteren zum heißeren Medium fließen kann.

12.14.3 Thermischer Wirkungsgrad

Der thermische Wirkungsgrad \(\eta\) (engl. thermal efficiency) einer Wärmekraftmaschine ist eine dimensionslose Größe (Verhältniszahl), die angibt wie effizient Wärme in Arbeit umgesetzt wird.

Eine Maschine ist umso effizienter, je weniger Wärme \(Q_H\) wir der Wärmequelle entnehmen müssen und je größer die gewonnene nutzbare Arbeit \(W\) ist. Der thermische Wirkungsgrad ist daher definiert als

\[ \eta = \frac{\text{nutzbare Arbeit}}{\text{aufzuwendende Wärmemenge}} = \frac{W}{Q_{H}} \]

Das Formelsymbol für den Wirkungsgrad ist der griechische Kleinbuchstabe Eta.

Da nie die gesamte Wärme in Arbeit umgewandelt werden kann, muss der Wirkungsgrad immer kleiner als Eins sein (\(0\le \eta < 1\)). Aus idealen Kreisprozessen (Sterling-Kreisprozess (12.14.7), Carnot-Kreisprozess (12.14.10),…) wurde abgeleitet, dass der maximal mögliche thermische Wirkungsgrad einer Wärmekraftmaschine nur von den Temperaturen der Wärmequelle \(T_H\) und der Wärmesenke \(T_K\) abhängt. Er ist

\[ \eta_{max} = 1 - \frac{T_{K}}{T_{H}} \]

Der maximal mögliche Wirkungsgrad ist unabhängig von dem jeweils gewählten Kreisprozess und ist für alle zwischen den selben Temperaturen arbeitenden reversiblen Kreisprozessen gleich groß!

Durch Verluste (Reibung,…) wird der reale Wirkungsgrad im Bezug auf den theoretisch maximal möglichen Wirkungsgrad zusätzlich verkleinert.

\[ \eta_{real} < \eta_{max} \]

Ein 4-Takt Ottomotor (??) hat eine Arbeitstemperatur von rund \(T_H=2600\;\mathrm{K}\) und eine Abgastemperatur von rund \(T_K=970\;\mathrm{K}\). Aus diesen beiden Temperaturen ergibt sich ein maximaler Wirkungsgrad von \(\eta_{max, Otto} = 0{,}62...\), also ein Wert weit unter 1! Reibung und andere Verluste schränken den Wirkungsgrad von realen Ottomotoren weiter ein. Im optimalen Fall wird in der Praxis ein Wirkungsgrad von rund \(\eta_{real, Otto} = 0{,}5\) erreicht – etwa die Hälfte der Energie geht an Abwärme verloren. Der reale Wirkungsgrad von Wärmekraftmaschinen liegt bei rund \(20\%-40\%\).

12.14.4 Leistungszahl einer Wärmepumpe

Da eine Wärmepumpe im Prinzip eine verkehrt laufende Wärmekraftmaschine ist, gibt die Effizienz einer Wärmepumpe die aufzuwendende Arbeit an, um thermische Energie von einer niedrigen auf eine höhere Temperatur zu heben. Diese Leistungszahl einer Wärmepumpe \(\epsilon_{\text{WP}}\) (engl. coefficient of performance, kurz COP), ist so wie der Wirkungsgrad eine dimensionslose Größe (Verhältniszahl). Sie ist definiert als

\[ \epsilon_{\text{WP}} = \frac{\text{nutzbare Wärmemenge}}{\text{aufzuwendende Arbeit}} = \frac{Q_{H}}{W} = \frac{1}{\eta} \]

Die Größe \(Q_{H}\) ist die vom kälteren zum wärmeren Körper transportierte Wärmemenge und \(W\) die dafür notwendige Arbeit. Das Formelsymbol für die Leistungszahl ist der griechische Kleinbuchstabe Epsilon.

Da die Leistungszahl der Kehrwert des thermischen Wirkungsgrades ist, gilt \(\epsilon_{\text{WP}} > 1\).

Von verkehrt laufenden idealen Kreisprozessen (Sterling-Kreisprozess (12.14.7), Carnot-Kreisprozess (12.14.10),…) wurde abgeleitet, dass die maximal mögliche Leistungszahl einer Wärmepumpe nur von den Temperaturen der Wärmesenke \(T_K\) und der Wärmequelle \(T_H\) abhängt. Er ist

\[ \epsilon_{\text{WP, max}} = \frac{T_{H}}{T_{H}-T_{K}} \]

Durch Verluste (Reibung,…) ist die Leistungszahl von realen Wärmepumpen immer unter dieser maximalen Leistungszahl.

\[ \epsilon_{\text{WP, real}} < \epsilon_{\text{WP, max}} \]

Die Leistungszahl von realen Wärmepumpenheizungen liegt zwischen Werten von rund 3 und 5, je nach Art der Wärmepumpe.

12.14.5 Leistungszahl einer Kältemaschine

Kältemaschinen (Kühlschrank, Klimaanlage,…) haben den selben Energiefluss (12.14.2) wie Wärmepumpen. Bei Kältemaschinen entspricht das Reservoir mit der hohen Temperatur \(T_H\) der Umwelt und bei Wärmepumpen ist das Reservoir mit der tiefen Temperatur \(T_K\) die Umwelt. Eine besonders gute Kältemaschine transportiert eine möglichst große Wärmemenge \(Q_K\) aus dem kalten Reservoir ab, bei möglichst geringer Arbeit \(W\). Daher unterscheidet sich die Definition von der Leistungszahl einer Wärmepumpe (12.14.4)! Die Leistungszahl einer Kältemaschine \(\epsilon_{\text{KM}}\) (engl. energy efficiency ratio) ist das Verhältnis

\[ \epsilon_{\text{KM}} = \frac{\text{abgeführte Wärmemenge}}{\text{aufzuwendende Arbeit}} = \frac{Q_{K}}{W} = \frac{1}{\eta}-1 = \epsilon_{\text{WP}}-1 \]

Die Leistungszahl einer Kältemaschine ist also eine Zahl größer Null (\(0<\epsilon_{\text{KM}}\)).

Von verkehrt laufenden idealen Kreisprozessen (Sterling-Kreisprozess (12.14.7), Carnot-Kreisprozess (12.14.10),…) wurde abgeleitet, dass die maximal mögliche Leistungszahl einer Kältemaschine nur von den Temperaturen der Wärmesenke \(T_K\) und der Wärmequelle \(T_H\) abhängt. Er ist

\[ \epsilon_{\text{KM, max}} = \frac{T_{K}}{T_{H}-T_{K}} \]

12.14.6 Reversible und Irreversible Prozesse

Bei reversiblen Prozessen (engl. reversible process) kann ein thermodynamisches System nach einer Zustandsänderung auf demselben Weg im p-V-Diagramm in seinen ursprünglichen Zustand zurückgeführt werden. Dabei befindet sich das System die ganze Zeit über in einem Gleichgewichtszustand (Im gesamten System gibt es zu jedem Zeitpunkt keine Druck-, Temperatur- oder Dichteunterschiede). Alle anderen Prozesse werden irreversibel (engl. irreversible process) genannt.

Ein reversibler Prozess ist eine theoretische Idealisierung. Alle bekannten natürlichen Prozesse sind irreversibel, weil Reibung, Wirbelbildung und andere sogenannten dissipativen Effekte unvermeidlich sind. Reversible Prozesse sind deshalb aber nicht unsinnig. Sie helfen uns zu verstehen, was thermodynamische Maschinen im besten Fall leisten können.

Obwohl Prozesse in der Natur immer irreversibel sind, sind einige fast reversibel. Dafür muss jede Änderung

  • sehr langsam und
  • in sehr kleinen Schritten

erfolgen. Damit hat das Medium (zum Beispiel ein Gas) genügend Zeit, etwaige Druck- Temperatur- oder Dichteunterschiede verschiedener Bereiche auszugleichen. Solche Änderungen werden auch quasistatisch (engl. quasi static) genannt.

Als Beispiel sieh dir das System in Bild 12.85 an.

reversible isotherme Kompression

Bild 12.85: reversible isotherme Kompression

Wir komprimieren ein Gas sehr langsam, in dem wir Sandkörner auf den (fast) reibungsfreien Kolben rieseln lassen. Durch den thermischen Kontakt des Gases zu einem großen Wärmebecken unter dem Zylinder, wird jeder Temperaturanstieg im Gas als Wärme an das Becken abgegeben. Wir erhalten also eine (fast) reversible isotherme Kompression. Die Größen Druck, Temperatur und Volumen sind zu allen Zeiten des Prozesses wohldefinierte Werte – das Gas befindet sich zu jedem Zeitpunkt (fast) in einem Gleichgewichtszustand.

Da es sich um einen reversiblen Prozess handelt, können wir das Gas auf dem selben Weg wieder expandieren. Dazu entfernen wir Sandkorn für Sandkorn wieder von dem Kolben. Jede Temperatursenkung wird durch eine Wärmezufuhr aus dem Wärmebecken ausgeglichen und wir erreichen eine (fast) reversible isotherme Expansion.

12.14.7 Stirling Kreisprozess

Ein idealer reversibler Kreisprozess ist der Stirling Kreisprozess (engl. stirling cycle) benannt nach Robert Stirling.

Stirling Kreisprozess im p-V-Diagramm

Bild 12.86: Stirling Kreisprozess im p-V-Diagramm

Er besteht aus folgenden 4 Takten (Bild 12.86):

1. Takt: Reversible isotherme Expansion: Die Expansion von Volumen \(V_A\) auf \(V_B\) erfolgt mit konstanter Temperatur \(T_H\) in einem heißen Wärmebecken. Da sich die Innere Energie bei einem isothermen Prozess nicht ändert, wird die aus dem heißerem Wärmebecken aufgenommene Wärme \(Q_1\) direkt als Arbeit \(W_1\) an dem Kolben verrichtet.

\[ Q_1 = W_1 \]

2. Takt: Reversible isochore Abkühlung: Die Temperatur des Gases wird von der Temperatur \(T_H\) auf \(T_K\) abgesenkt. Das geschieht, indem der Zylinder samt Kolben (genügend langsam) in das kalte Wärmebecken gebracht wird. Dabei wird die Position des Kolbens im Zylinder nicht verändert – in diesem Takt wird also keine Arbeit verrichtet (\(W_2=0\)). Das Wärmebecken nimmt dabei die Wärmemenge \(Q_2\) auf, wodurch die Innere Energie des Gases um \(\Delta U_2\) sinkt.

\[ \Delta U_2 = Q_2 \]

Dabei sinkt natürlich der Druck von \(p_B\) auf \(p_C\).

3. Takt: Reversible isotherme Kompression: Die Kompression von Volumen \(V_C\) auf \(V_D\) erfolgt bei konstanter Temperatur \(T_K\). Da sich die Innere Energie bei einem isothermen Prozess nicht verändert, wird die aufgebrachte Arbeit \(W_3\) direkt an das kältere Wärmebecken in Form von Wärme \(Q_3\) abgegeben.

\[ Q_3 = W_3 \]

4. Takt: Reversible isochore Abkühlung: Die Temperatur des Gases wird von der Temperatur \(T_K\) auf \(T_H\) angehoben. Das geschieht, indem der Zylinder samt Kolben (genügend langsam) in das Wärmebecken der höheren Temperatur gebracht wird. Dabei wird die Position des Kolbens im Zylinder nicht verändert – in diesem Takt wird also keine Arbeit verrichtet (\(W_4=0\)). Das Wärmebecken gibt dabei die Wärmemenge \(Q_4\) ab, wodurch die Innere Energie des Gases um \(\Delta U_4\) steigt.

\[ \Delta U_4 = Q_4 \]

Zusätzlich zur Temperatur steigt der Druck von \(p_D\) auf \(p_A\). Das Gas befindet sich jetzt im selben thermischen Zustand (A) wie zu Beginn des 1. Takts und kann einen weiteren Zyklus durchlaufen.

12.14.8 Wirkungsgrad Stirling Kreisprozess

Wir werden jetzt eine Formel für den Wirkungsgrad des Stirling Kreisprozess herleiten.

Im ersten Takt (isotherme Expansion) wird dem Gas die Wärme \(Q_1\) aus dem heißeren Wärmebecken zugeführt und dabei restlos als Arbeit genutzt (\(W_1=Q_1\) und \(\Delta U=0\)).

Im dritten Takt (isotherme Kompression) muss die gesamte verrichtete Arbeit \(W_3\) in Form von Wärme \(Q_3\) in das Wärmebecken mit der tieferen Temperatur abgeführt werden (\(W_3=Q_3\) und \(\Delta U=0\)).

Sowohl im zweiten als auch im vierten Takt wird überhaupt keine Arbeit verrichtet (isochore Prozesse). Die im Takt zwei abgeführte Wärme \(Q_2\) und die im Takt vier aufgenommene Wärme \(Q_4\) sind betragsmäßig gleich groß und heben daher einander auf.

Der Wirkungsgrad (12.14.3) einer Wärmekraftmaschine ist definiert als

\[ \eta = \frac{\text{nutzbare Arbeit}}{\text{aufzuwendende Wärmemenge}} \]

Für den Stirling Kreisprozess bedeutet das

\[ \eta = \frac{W_1-W_3}{Q_1} = \frac{Q_1-Q_3}{Q_1} = 1-\frac{Q_3}{Q_1} \]

Wählen wir ein bestimmtes Volumen \(V_x\) dann gilt für den Druck \(p_o\) auf der oberen Isotherme (Temperatur \(T_H\)) nach dem idealen Gasgesetz (12.11.5):

\[ p_o=n\cdot k\cdot \frac{T_H}{V_x} \]

und für den Druck \(p_u\) auf der unteren Isotherme (Temperatur \(T_K\)):

\[ p_u=n\cdot k\cdot \frac{T_K}{V_x} \]

Für das Verhältnis der Drücke erhältst du:

\[ \frac{p_u}{p_o} = \frac{n\cdot k\cdot \frac{T_K}{V_x}}{n\cdot k\cdot \frac{T_H}{V_x}} = \frac{T_K}{T_H} \]

Flächenvergleich Stirling Kreisprozess

Bild 12.87: Flächenvergleich Stirling Kreisprozess

Die Arbeit \(W_1\) und \(W_3\), die als Flächeninhalte unter den Isothermen im p-V-Diagramm zu sehen sind, können wir durch Rechtecke beliebig genau annähern (Bild 12.87). Sehen wir uns zunächst das Verhältnis der Teilarbeiten \(\Delta W_3\) und \(\Delta W_1\) (Flächeninhalte zweier Rechtecksstreifen) an einer beliebigen Stelle in unserer Annäherung an:

\[ \frac{\Delta W_3}{\Delta W_1} = \frac{p_u\cdot\Delta V}{p_o\cdot\Delta V} = \frac{p_u}{p_o} = \frac{T_K}{T_H} \]

Das Verhältnis der Teilarbeiten ist also nur von dem Temperaturverhältnis abhängig. Da wir keine bestimmte Stelle gewählt haben, gilt dasselbe Verhältnis nicht nur für alle Streifen, sondern auch für das Verhältnis der Summen über alle Streifen und damit sogar für das Verhältnis der Gesamtarbeiten:

\[ \frac{W_3}{W_1} = \frac{T_K}{T_H} \]

Für den Stirling-Prozess gilt \(W_3 = Q_3\) und \(W_1 = Q_1\) und du erhältst damit für den Wirkungsgrad einer idealen Stirling Wärmekraftmaschine \(\eta_s\) die Formel

\[ \eta_s = 1-\frac{Q_3}{Q_1}= 1-\frac{W_3}{W_1}= 1-\frac{T_K}{T_H} \]

Bei dem reversibelen Stirling Kreisprozess hängt der Wirkungsgrad nur von der Temperaturdifferenz von beiden Wärmebehältern ab.

Da der ideale Stirling-Kreisprozess reversibel ist, kann er in umgekehrter Richtung als Wärmepumpe verwendet werden. Die Leistungszahl (12.14.4) \(\epsilon_{\text{s}}\) eines umgekehrt ablaufenden Stirling-Kreisprozesses lautet daher

\[ \epsilon_{\text{s}} = \frac{1}{\eta_{c}} = \frac{T_{H}}{T_{H}-T_{K}} \]

12.14.9 Stirlingmotor

Im Gegensatz zum Carnot Kreisprozess (12.14.10) gibt es Wärmekraftmaschinen, die nach dem Prinzip des Stirling Kreisprozesses arbeiten. In Bild 12.88 siehst du einen Stirlingmotor, der nur durch die Temperaturdifferenz von Hautoberfläche und Umgebungstemperatur läuft.

Motor nach dem Stirling Kreisprozess

Bild 12.88: Motor nach dem Stirling Kreisprozess

In Bild 12.89 siehst du die Funktionsweise des Stirlingmotors. Ein Gas wird von außen in einem abgeschlossenen Raum erhitzt (zum Beispiel von der Handwärme) und es expandiert. In einem anderen abgeschlossenen Raum wird es gekühlt (zum Beispiel von der Umgebung) und es komprimiert. Das Gas pendelt zwischen diesen beiden Räumen und wechselt dabei Temperatur und Druck.

Animation zur Funktionsweise eines Stirling Motors

Bild 12.89: Animation zur Funktionsweise eines Stirling Motors

Stirlingmotoren können bei sehr geringen Temperaturunterschieden noch arbeiten, haben aber insgesamt einen sehr geringen Wirkungsgrad und werden in der Praxis wenig verwendet.

12.14.10 Carnot Kreisprozess

Ein anderer idealer reversibler Kreisprozess ist der Carnot Kreisprozess (engl. carnot cycle), benannt nach Nicolas Léonard Sadi Carnot.

Carnot Kreisprozess im p-V-Diagramm

Bild 12.90: Carnot Kreisprozess im p-V-Diagramm

Er besteht aus folgenden 4 Takten (Bild 12.90):

1. Takt: Reversible isotherme Expansion: Die Expansion von Volumen \(V_A\) auf \(V_B\) erfolgt mit konstanter Temperatur \(T_H\). Da sich die Innere Energie bei einem isothermen Prozess nicht ändert, wird die aus dem heißerem Wärmebecken aufgenommene Wärme \(Q_1\) direkt als Arbeit \(W_1\) an dem Kolben weitergegeben.

\[ Q_1 = W_1 \]

2. Takt: Reversible adiabatische Expansion: Die Expansion von Volumen \(V_B\) auf \(V_C\) erfolgt ohne Wärmeaustausch mit der Umgebung. Die Temperatur des Gases sinkt von \(T_H\) auf \(T_K\) und der Druck sinkt von \(p_B\) auf \(p_C\). Da kein Wärmeaustausch stattfindet, stammt die gesamte Kolbenarbeit \(W_2\) aus einem Teil der Inneren Energie des Gases.

\[ \Delta U_2 = W_2 \]

3. Takt: Reversible isotherme Kompression: Die Kompression von Volumen \(V_C\) auf \(V_D\) erfolgt mit konstanter Temperatur \(T_K\). Da sich die Innere Energie bei einem isothermen Prozess nicht verändert wird, die aufgebrachte Arbeit \(W_3\) direkt an das Wärmebecken in Form von Wärme \(Q_3\) abgegeben.

\[ Q_3 = W_3 \]

4. Takt: Reversible adiabatische Kompression: Die Kompression von Volumen \(V_D\) auf \(V_A\) erfolgt ohne Wärmeaustausch mit der Umgebung. Die Temperatur des Gases steigt von \(T_K\) auf \(T_H\) und der Druck erhöht sich von \(p_D\) auf \(p_A\). Da kein Wärmeaustausch stattfindet, wird die gesamte aufgebrachte Arbeit \(W_4\) in die Erhöhung der Inneren Energie gesteckt.

\[ \Delta U_4 = W_4 \]

Das Gas befindet sich jetzt im selben thermischen Zustand (A) wie zu Beginn des 1. Takts und kann einen weiteren Zyklus durchlaufen.

12.14.11 Wirkungsgrad Carnot Kreisprozess

Mit Hilfe der Integralrechnung lässt sich der Wirkungsgrad (12.14.3) eines Carnot-Kreisprozesses berechnen. Er lautet

\[ \eta_{c} = \frac{T_{H}-T_{K}}{T_{H}} = 1 - \frac{T_{K}}{T_{H}} \]

und ist identisch mit dem Wirkungsgrad, den wir beim Stirling Kreisprozess hergeleitet haben (12.14.8).

Da der ideale Carnot-Kreisprozess reversibel ist, kann er in umgekehrter Richtung als Wärmepumpe verwendet werden. Die Leistungszahl (12.14.4) \(\epsilon_{\text{c}}\) eines umgekehrt ablaufenden Carnot-Kreisprozesses lautet daher

\[ \epsilon_{\text{c}} = \frac{1}{\eta_{c}} = \frac{T_{H}}{T_{H}-T_{K}} \]