8.2.1 Gesamtenergie eines harmonischen Oszillators

Die Gesamtenergie eines harmonischen Oszillators ist durch die Formel

beschrieben.

Verdoppeln wir beispielsweise die Amplitude, wächst die Gesamtenergie des Oszillators auf das 4-fache des ursprünglichen Wertes an.

8.2.2 Herleitung Gesamtenergie eines harmonischen Oszillators

Bild 8.7: Energie eines horizontalen Federpendels

Das Federpendel besitzt im Wesentlichen zwei Energiebeiträge: die kinetische Energie \(E_\text{kin}\) der Masse und die Spannenergie \(E_\text{spann}\) der Feder (interaktives Bild 8.7).

Die Gesamtenergie ist die Summe der einzelnen Energiebeiträge:

\[ \begin{aligned} E_{ges} = {} & E_\text{kin} + E_\text{spann} \\ E_{ges} = {} & \frac{m\cdot v_y^2}{2} + \frac{k\cdot y^2}{2} \\ E_{ges} = {} & \frac{1}{2}\cdot\left(m\cdot v^2+k\cdot y^2\right) \\ \end{aligned} \]

Wirken keine Reibungskräfte auf das System, bleibt die Gesamtenergie erhalten.

Für das Federpendel gilt die Beziehung:

\[ \omega^2=\frac{k}{m} \qquad\Rightarrow\qquad k=m\cdot\omega^2 \]

Die Gleichungen für Elongation und Geschwindigkeit lauten:

\[ \begin{aligned} y(t)= {} & \qquad\quad A\cdot\sin(\omega\cdot t) \\ v_y(t)= {} & \quad\; \omega\,\,\cdot A\cdot\cos(\omega\cdot t) \\ \end{aligned} \]

Alle drei Beziehungen setzen wir in die Gleichung für die Gesamtenergie des Oszillators ein:

\[ \begin{aligned} E_{ges} = {} & \frac{1}{2}\cdot\left(m\cdot v^2+k\cdot y^2\right) \\ E_{ges} = {} & \frac{1}{2}\cdot\left(m\cdot [\omega\cdot A\cdot\cos(\omega\cdot t)]^2+[m\cdot\omega^2]\cdot [A\cdot\sin(\omega\cdot t)]^2\right) \\ E_{ges} = {} & \frac{1}{2}\cdot\left(m\cdot \omega^2\cdot A^2\cdot\cos^2(\omega\cdot t)+m\cdot\omega^2\cdot A^2\cdot\sin^2(\omega\cdot t)\right) \\ E_{ges} = {} & \frac{m\cdot \omega^2\cdot A^2}{2}\cdot\left(\cos^2(\omega\cdot t)+\sin^2(\omega\cdot t)\right) \\ \end{aligned} \]

Mithilfe der Beziehung („trigonometrischer Pythagoras“ (B.16))

\[ \sin^2(\omega\cdot t)+\cos^2(\omega\cdot t)=1 \]

vereinfacht sich die Gleichung zu:

\[ E_{ges} = \frac{m\cdot \omega^2\cdot A^2}{2} \]

Zwischen Kreisfrequenz und Frequenz besteht die Beziehung (siehe Kreisfrequenz):

\[ \begin{aligned} \omega = {} & 2\pi\cdot f &&\Bigr\rvert\;(\ldots)^2\\ \omega^2 = {} & 4\pi^2\cdot f^2 &&\Bigr\rvert\cdot \frac{1}{2}\\ \frac{\omega^2}{2} = {} & 2\pi^2\cdot f^2 \\ \end{aligned} \]

Einsetzen in die Formel für die Gesamtenergie liefert schließlich:

\[ E_{ges} = m\cdot 2\pi^2\cdot f ^2\cdot A^2 \]

Obwohl wir für die Herleitung dieser Formel das Federpendel verwendet haben, gilt diese Formel ganz allgemein für jeden harmonischen Oszillator.

Im Bild 8.8 siehst du den zeitlichen Verlauf der Energie bei einem harmonischen Oszillator.

Bild 8.8: Energie bei einer harmonischen Schwingung

Während die Gesamtenergie (Summe der Energiebeiträge) immer konstant ist, wechseln sich kinetische Energie und Spannenergie periodisch ab. Bewegt sich der Oszillator durch die Ruhelage, ist die Spannenergie null, seine Geschwindigkeit aber am größten und damit auch seine kinetische Energie. An den Umkehrpunkten der Bewegung ist die Geschwindigkeit und die kinetische Energie null. Dort ist die Feder maximal gespannt (oder gestaucht) und somit die Spannenergie maximal.

Links:

• Applet: Massen und Federn | Energie