5.3 Schweredruck in ruhenden Fluiden

Im Bild 5.9 siehst du einen Taucher mit einer Pressluftflasche bei einem Tauchgang.

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Bild 5.9: Gerätetaucher in einer Unterwasserhöhle

Der Lungenautomat versorgt den Taucher in jeder Tiefe mit exakt demselben Luftdruck, wie der umgebende Wasserdruck. Nur so kann der Taucher unter Wasser atmen. Wie und warum sich der Wasserdruck mit der Tiefe ändert erfährst du in diesem Kapitel.

5.3.1 Hydrostatische Druck

Tauchst du in einem Schwimmbad oder in einem See nach unten, wirst du an deinem Trommelfell sehr bald merken, dass der Druck mit der Tiefe zunimmt. Der Grund dafür ist die Gewichtskraft der Wassermenge, die sich über dir befindet. Diesen Druck nennen die Physikerinnen und Physiker den hydrostatischen Druck (engl. hydrostatic pressure). Die Formel lautet

\[ p = \rho_{Fl}\cdot g\cdot h + p_0 \]

In der Formel steht \(\rho_{Fl}\) für die Dichte der Flüssigkeit, \(g\) für die örtliche Fallbeschleunigung, \(h\) für die Eintauchtiefe und \(p_0\) für einen zusätzlichen Druck der auf die Flüssigkeitsoberfläche wirkt.

Betrachten wir konkret den hydrostatischen Druck von Wasser. Bei einer Dichte von \(1000\;\mathrm{kg}/\mathrm{m}^3\) und einer Fallbeschleunigung von rund \(10\;\mathrm{m}/\mathrm{s}^2\) ergibt sich in einer Tiefe von \(10\;\textrm{m}\) ein Druck von

\[ p = 1000\cdot 10\cdot 10 = 100.000 \;\textrm{Pa} = 1\;\textrm{bar} \]

Dazu kommt noch der Luftdruck auf Meeresniveau \(p_0\) von \(1\;\textrm{bar}\), der über dem Wasser liegt. Der Gesamtdruck ist daher \(2\;\textrm{bar}\). Die Infografik 5.10 fasst den Tiefendruck in Wasser noch einmal zusammen.

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Bild 5.10: Tiefendruck in Wasser auf der Erde

5.3.2 Herleitung des hydrostatischen Drucks

Die Ursache für den hydrostatischen Druck in einer Tiefe ist die Gewichtskraft der Wassersäule darüber. Für die Herleitung betrachten wir die in Bild 5.11 gezeigte Situation.

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Bild 5.11: Gedachte Fläche in einem Wassertank

In einer Tiefe \(h\) befindet sich eine Fläche \(A\). Die Druckkraft auf diese Fläche wird von dem Wasservolumen \(A\cdot h\) (Grundfläche mal Höhe) erzeugt.

\[ \begin{array}{rcl} p & = & \frac{F_G}{A} \\ & = & \frac{m\cdot g}{A} \\ & = & \frac{V\cdot \rho_{Fl}\cdot g}{A} \\ & = & \frac{A\cdot h\cdot \rho_{Fl}\cdot g}{A} \\ & = & h\cdot \rho_{Fl}\cdot g \\ \end{array} \]

5.3.3 Kommunizierende Gefäße

Nach der Formel für den hydrostatischen Druck, hängt der Bodendruck eines Gefäßes ausschließlich von der Höhe der Flüssigkeitssäule ab. Verbindet man Gefäße unterschiedlicher Form (Kommunizierende Gefäße (engl. communicating vessels)) so bildet sich in allen Gefäßen derselbe Flüssigkeitspegel waagrecht zur Erdoberfläche aus und bestätigt die Formel für den hydrostatischen Druck (Bild 5.12).

Beispiel für verbundene Gefäße image source

Bild 5.12: Beispiel für verbundene Gefäße

Dass die Wassermenge in den einzelnen Gefäßen dabei keine Rolle spielt, erscheint auf den ersten Blick paradox, deshalb spricht man auch vom Hydrostatisches Paradoxon. Wären die Säulen Festkörper, wäre der Bodendruck tatsächlich abhängig von der Menge des Materials. Hier handelt es sich aber um eine Flüssigkeit, die auch Druck an die Gefäßwände ableiten kann.

Erklärung des hydrostatischen Paradoxons image source

Bild 5.13: Erklärung des hydrostatischen Paradoxons

Im Bild 5.13 oben siehst du die verbundenen Gefäße in einem Wassertank. Die Formen haben Löcher und die Flüssigkeit kann überall hin eindringen. Wir warten bis die Flüssigkeit ruht. Jetzt schließen wir alle Löcher (Bild 5.13 mitte). Ob die Löcher da sind oder nicht macht für die Flüssigkeit keinen Unterschied, da sich die Flüssigkeitsteilchen ja nicht mehr bewegen. Auf beiden Seiten der Gefäßwände herrscht jeweils der gleiche Wasserdruck - es macht auch keinen Unterschied, ob die Wände der kommunizierenden Gefäße flexibel oder starr sind. Jetzt wird die umgebende Flüssigkeit im Wassertank abgelassen (Bild 5.13 unten). Die Flüssigkeit in den verbundenen Gefäßen ist davon unbeeinflusst. Der nun fehlende Druck auf der Außenseite der kommunizierenden Gefäße wird von den Gefäßwänden aufgebracht.

5.3.4 Druck in schweren Gasen

Auf Meeresniveau herrscht ungefähr ein Luftdruck von \(1\;\textrm{bar}\). Auch dieser Druck ist eine Folge der Gewichtskraft der darüber liegenden Luftmoleküle. Da sich Flüssigkeiten nicht zusammendrücken lassen ergibt sich für den hydrostatischen Druck eine lineare Gleichung. Im Gegensatz dazu lässt sich Luft, wie alle Gase, zusammendrücken. Der Atmosphärischer Druck (engl. atmospheric pressure) nimmt mit zunehmender Höhe ist nicht linear ab.

Geht man von einer konstanten Temperatur in allen Luftschichten aus, kann man mit Hilfe der Integralrechung die barometrische Höhenformel herleiten. Nach der barometrischen Höhenformel, nimmt der Druck mit der Höhe exponentiell ab (Bild 5.14).

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Bild 5.14: Atmosphärischer Druck nach der barometrischen Höhenformel