5.4 Statischer Auftrieb

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Bild 5.15: Heißluftballon Wettfahrt

Der Traum vom Fliegen wurde das erste Mal durch den statischen Auftrieb wahr. Was das ist und wie es dazu kommt, erfährst du in diesem Kapitel

5.4.1 Auftriebskraft

Wenn du im Wasser bist, fühlst du dich viel leichter. Auch schwere Objekte kannst du leichter heben. Das Wasser scheint die Schwerkraft teilweise aufzuheben. Das ist auch der Grund, warum Astronauten für den Weltraum in großen Wassertanks trainieren (Bild 5.16).

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Bild 5.16: Unterwassertraining eines Astronauten in einem Raumanzug

Wenn du ins Wasser gehst, ändert sich deine Körpermasse nicht - deine Gewichtskraft ist unverändert. Daher muss die Flüssigkeit eine - nach oben gerichtete - zusätzliche Kraft erzeugen. Diese, der Schwerkraft entgegengesetzte, Kraft nennt man Auftriebskraft (oder kurz Auftrieb) (engl. buoyancy).

Die Auftriebskraft ist eine Folge des hydrostatischen Drucks. Du kannst den Auftrieb mit der folgenden Formel berechnen:

\[ F_A = \rho_{Fl}\cdot g\cdot V \\ \]

Mit \(g\) der örtlichen Fallbeschleunigung, \(\rho_{Fl}\) der Dichte der Flüssigkeit und \(V\) dem von dem Körper verdrängten Flüssigkeitsvolumen.

5.4.2 Herleitung der Auftriebskraft

Um zu verstehen, warum der hydrostatische Druck die Ursache für den Auftrieb ist, sieh dir die Abbildung 5.17 eines vollständig in eine Flüssigkeit getauchten Quaders an.

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Bild 5.17: Druckkräfte bei einem eingetauchten Quader

Stell dir die Oberfläche des Quaders in kleine gleich große Flächen unterteilt vor. Auf jede dieser Flächen ist die Druckkraft eingezeichnet. Auf der Oberseite des Quaders sind alle Kräfte gleich groß - sie befinden sich alle in der gleichen Tiefe \(h_1\), somit herrscht überall der gleiche hydrostatische Druck. Auf der Unterseite wirkt ebenfalls auf jedes Flächenelement die gleiche Kraft. Allerdings sind diese Kräfte größer als an der Oberseite, da in der Tiefe \(h_2\) ein größerer hydrostatischer Druck herrscht.

Auf die Seitenflächen wirkt keine einheitliche Druckkraft auf die Flächenelemente. Je tiefer, desto größer die Kraft. Auf jeder Höhe gibt es aber eine gleich große entgegengesetzte Kraft von der gegenüberligenden Seite, so dass sich die Kräfte auf die Seitenflächen alle ausgleichen.

Die Auftriebskraft ist die Differenz der Kräfte auf Grund- und Deckfläche des Körpers.

\[ \begin{array}{rcl} F_A & = & F_2-F_1\\ & = & p_2\cdot A - p_1\cdot A \\ & = & \rho_{Fl}\cdot g\cdot h_2\cdot A - \rho_{Fl}\cdot g\cdot h_1\cdot A \\ & = & \rho_{Fl}\cdot g\cdot A \cdot( h_2-h_1) \\ & = & \rho_{Fl}\cdot g\cdot V \\ \end{array} \]

Die Höhendifferenz \(h = h_2-h_1\) entspricht genau der Höhe des Quaders. Grundfläche \(A\) mal Höhe \(h\) ergibt das Volumen des Quaders.

Wir haben die Formel für die Auftriebskraft der Einfachheit halber für einen Quader hergeleitet. Das Ergebnis ist aber unabhängig von der Form des Körpers und gilt für vollständig oder auch nur teilweise in ein Fluid eingetauchte Körper.

5.4.3 Archimedisches Prinzip

Sieh dir die Formel für die Auftriebskraft genau an. Der Ausdruck \(\rho_{Fl}\cdot V\) ist die Masse der vom Körper verdrängten Flüssigkeit. Der ganze Ausdruck auf der rechten Seite \(\rho_{Fl}\cdot g\cdot V\) entspricht der Gewichtskraft des verdrängten Wasservolumens.

Der Betrag der Auftriebskraft ist gleich groß dem Betrag der Gewichtskraft der verdrängten Flüssigkeit.

Diese Erkenntnis heißt Archimedisches Prinzip (engl. archimedes’ principle). Es ist nach Archimedes von Syrakus benannt, der das Prinzip erkannt haben soll, als er den Betrug mit der vermeintlichen Goldkrone aufdeckte ohne dabei die Krone zu zerstören (Bild 5.18).

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Bild 5.18: Experiment zum Veranschaulichen des Archimedischen Prinzips

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5.4.4 Schwimmen, schweben, sinken

Von der Dichte eines Körpers hängt es ab, wie sich dieser in einer Flüssigkeit verhält.

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Bild 5.19: sinken (links), schweben (mitte), schwimmen (rechts) in einer Flüssigkeit

  • sinken: Hat der Körper eine höhere Dichte als die Flüssigkeit (z.B. Eisen in Wasser) ist die Gewichtskraft des Körpers größer als die Auftriebskraft und der Körper sinkt auf den Boden (Bild 5.19 links).

  • schweben: Hat der Körper eine gleich große Dichte wie die Flüssigkeit selbst, schwebt der Körper in jeder Tiefe - weder sinkt noch steigt er (Bild 5.19 mitte).

  • schwimmen: Hat der Körper eine kleinere Dichte als die Flüssigkeit (z.B. Styropor in Wasser) ist die Gewichtskraft des Körpers kleiner als die Auftriebskraft und der Körper steigt in der Flüssigkeit auf (Bild 5.19 rechts), bis er an der Oberfläche schwimmt. Dabei taucht der Körper gerade so weit in die Flüssigkeit ein, bis die Gewichtskraft der verdrängten Flüssigkeit der Gewichtskraft des gesamten Körpers entspricht.

Analog gilt das Archimedische Prinzip für Gase. Weil Helium eine geringere Dichte als Luft hat, steigt ein heliumgefüllter Luftballon auf.

Alle bisherigen Überlegungen sind von einem homogenen Körper, der überall dieselbe Dichte hat, ausgegangen. Stahlschiffe besitzen Hohlräume und reduzieren so ihre Masse, bei gleicher Wasserverdrängung. So können sie schwimmen, obwohl die Dichte von Stahl um ein Vielfaches größer als die von Wasser ist.

Eine andere Möglichkeit die Dichte zu verringern besteht durch Erwärmung. Ein Heißluftballon ist mit derselben Luft gefüllt, wie die Umgebung. Allerdings wird die Luft im Ballon erwärmt, dehnt sich aus und steigt in der kühleren Umgebungsluft auf. Der Temperaturunterschied führt auch in Flüssigkeiten zu einem Auftrieb, wie im Beispiel der Konvektion.

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