14.4 Statischer Auftrieb

Der Traum vom Fliegen (Bild 14.14) wurde das erste Mal durch den statischen Auftrieb wahr.

Heißluftballon Wettfahrt

Bild 14.14: Heißluftballon Wettfahrt

Was das genau ist und wie es dazu kommt, erfährst du in diesem Kapitel.

14.4.1 Auftriebskraft

Wenn du im Wasser bist, fühlst du dich viel leichter. Auch schwere Objekte kannst du leichter heben. Das Wasser scheint die Schwerkraft teilweise aufzuheben. Das ist auch der Grund, warum Astronauten für den Weltraum in großen Wassertanks trainieren (Bild 14.15).

Unterwassertraining eines Astronauten in einem Raumanzug

Bild 14.15: Unterwassertraining eines Astronauten in einem Raumanzug

Wenn du ins Wasser gehst, ändert sich deine Körpermasse nicht – deine Gewichtskraft bleibt also unverändert. Daher muss die Flüssigkeit eine – nach oben gerichtete – zusätzliche Kraft erzeugen. Diese, der Schwerkraft entgegengesetzte, Kraft wird Auftriebskraft (oder kurz Auftrieb) (engl. buoyancy) genannt.

Die Auftriebskraft ist eine Folge des hydrostatischen Drucks (14.3.1). Du kannst den Auftrieb mit der folgenden Formel berechnen:

\[ F_A = \rho_{Fl}\cdot g\cdot V \\ \]

Mit \(g\) der örtlichen Fallbeschleunigung, \(\rho_{Fl}\) der Dichte der Flüssigkeit und \(V\) dem von dem Körper verdrängten Flüssigkeitsvolumen.

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14.4.2 Herleitung der Auftriebskraft

Um zu verstehen, warum der hydrostatische Druck die Ursache für den Auftrieb ist, sieh dir die Abbildung 14.16 eines vollständig in eine Flüssigkeit getauchten Quaders an.

Druckkräfte bei einem eingetauchten Quader

Bild 14.16: Druckkräfte bei einem eingetauchten Quader

Stell dir die Oberfläche des Quaders in kleine gleich große Flächen unterteilt vor. Auf jede dieser Flächen ist die Druckkraft eingezeichnet. Auf der Oberseite des Quaders sind alle Kräfte gleich groß – sie befinden sich alle in der gleichen Tiefe \(h_1\). Somit herrscht überall der gleiche hydrostatische Druck. Auf der Unterseite wirkt ebenfalls auf jedes Flächenelement die gleiche Kraft. Allerdings sind diese Kräfte größer als an der Oberseite, da in der Tiefe \(h_2\) ein größerer hydrostatischer Druck herrscht.

Auf die Seitenflächen wirkt keine einheitliche Druckkraft auf die Flächenelemente. Je tiefer, desto größer die Kraft. Auf jeder Höhe gibt es aber eine gleich große entgegengesetzte Kraft von der gegenüberliegenden Seite, sodass sich die Kräfte auf die Seitenflächen alle ausgleichen.

Die Auftriebskraft ist die Differenz der Kräfte aufgrund- und Deckfläche des Körpers.

\[ \begin{array}{rcl} F_A & = & F_2-F_1\\ & = & p_2\cdot A - p_1\cdot A \\ & = & \rho_{Fl}\cdot g\cdot h_2\cdot A - \rho_{Fl}\cdot g\cdot h_1\cdot A \\ & = & \rho_{Fl}\cdot g\cdot A \cdot( h_2-h_1) \\ & = & \rho_{Fl}\cdot g\cdot V \\ \end{array} \]

Die Höhendifferenz \(h = h_2-h_1\) entspricht genau der Höhe des Quaders. Grundfläche \(A\) mal Höhe \(h\) ergibt das Volumen des Quaders.

Wir haben die Formel für die Auftriebskraft der Einfachheit halber für einen Quader hergeleitet. Das Ergebnis ist aber unabhängig von der Form des Körpers und gilt für vollständig oder auch nur teilweise in ein Fluid eingetauchte Körper.

14.4.3 Archimedisches Prinzip

Sieh dir die Formel für die Auftriebskraft genau an. Der Ausdruck \(\rho_{Fl}\cdot V\) ist die Masse der vom Körper verdrängten Flüssigkeit. Der ganze Ausdruck auf der rechten Seite \(\rho_{Fl}\cdot g\cdot V\) entspricht der Gewichtskraft des verdrängten Wasservolumens. Jetzt wirkt aber die Gewichtskraft in Richtung der Schwerkraft, die Auftriebskraft in die entgegengesetzte Richtung. Daher gilt:

Der Betrag der Auftriebskraft ist gleich groß dem Betrag der Gewichtskraft der verdrängten Flüssigkeit.

Diese Erkenntnis heißt Archimedisches Prinzip (engl. archimedes’ principle). Es ist nach Archimedes von Syrakus benannt, der das Prinzip erkannt haben soll, als er den Betrug mit der vermeintlichen Goldkrone aufdeckte ohne dabei die Krone zu zerstören (Bild 14.17).

Experiment zum Veranschaulichen des Archimedischen Prinzips

Bild 14.17: Experiment zum Veranschaulichen des Archimedischen Prinzips

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14.4.4 Schwimmen, schweben, sinken

Von der Dichte eines Körpers hängt es ab, wie sich dieser in einer Flüssigkeit verhält.

sinken (dunkelgrau), schweben (grau), aufsteigen und schwimmen (hellgrau) in einer Flüssigkeit

Bild 14.18: sinken (dunkelgrau), schweben (grau), aufsteigen und schwimmen (hellgrau) in einer Flüssigkeit

  • sinken: Hat der Körper eine höhere Dichte als die Flüssigkeit (zum Beispiel Eisen in Wasser) ist die Gewichtskraft des Körpers größer als die Auftriebskraft und der Körper sinkt auf den Boden (Bild 14.18 links).

  • schweben: Hat der Körper eine gleich große Dichte wie die Flüssigkeit selbst, schwebt der Körper in jeder Tiefe – weder sinkt noch steigt er (Bild 14.18 Mitte).

  • schwimmen: Hat der Körper eine kleinere Dichte als die Flüssigkeit (zum Beispiel Styropor in Wasser) ist die Gewichtskraft des Körpers kleiner als die Auftriebskraft und der Körper steigt in der Flüssigkeit auf (Bild 14.18 rechts), bis er an der Oberfläche schwimmt. Dabei taucht der Körper gerade so weit in die Flüssigkeit ein, bis die Gewichtskraft der verdrängten Flüssigkeit der Gewichtskraft des Körpers entspricht.

Analog gilt das Archimedische Prinzip für Gase. Weil Helium eine geringere Dichte als Luft hat, steigt ein heliumgefüllter Ballon in der Erdatmosphäre auf.

Alle bisherigen Überlegungen sind von einem homogenen Körper, der überall dieselbe Dichte hat, ausgegangen. Stahlschiffe besitzen Hohlräume und reduzieren so ihre Masse, bei gleicher Wasserverdrängung. So können sie schwimmen, obwohl die Dichte von Stahl um ein Vielfaches größer als die von Wasser ist. Bei inhomogenen Körpern wird das Verhältnis von Masse und Volumen als mittlere Dichte (engl. mean density) bezeichnet.

Eine andere Möglichkeit die Dichte zu verringern besteht durch Erwärmung. Ein Heißluftballon ist mit derselben Luft gefüllt, wie die Umgebung. Allerdings wird die Luft im Ballon erwärmt, dehnt sich aus und steigt in der kühleren Umgebungsluft auf. Der Temperaturunterschied führt auch in Flüssigkeiten zu einem Auftrieb, wie im Beispiel der Konvektion.

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14.4.5 Auftriebsschwerpunkt

Wir wissen bereits, dass der Angriffspunkt der Gewichtskraft der Massenmittelpunkt (Gewichtsschwerpunkt) des Körpers (6.3.2) ist. Wo ist aber der Angriffspunkt der Auftriebskraft?

Der Angriffspunkt der Auftriebskraft ist der Massenmittelpunkt des verdrängten Fluids. Er wird Auftriebsschwerpunkt (engl. center of buoyancy) genannt. In Bild 14.19 siehst du den Unterschied von Gewichtsschwerpunkt (\(G\)) und Auftriebsschwerpunkt (\(A\)).

Vergleich Gewichts- und Auftriebsschwerpunkt

Bild 14.19: Vergleich Gewichts- und Auftriebsschwerpunkt

Bei einem homogenen, vollständig eingetauchten Körper fallen diese beiden Punkte zusammen. Bei einem Körper, der an der Wasseroberfläche schwimmt unterscheiden sich diese beiden Punkte fast immer.

14.4.6 Stabiles Schwimmen

Sie dir das Bild 14.20 an. Befindet sich das Schiff in Schräglage (Bilder oben) bewirken Auftriebskraft \(F_A\) und Gewichtskraft \(F_G\) ein Drehmoment (7.3.2). In den Bildern unten sieht du die Wirkung dieses Drehmoments: Während das linke Schiff wieder aufgerichtet wird, kippt das rechte Schiff um (es kentert).

Vergleich stabiles Schwimmen (links) und labiles Schwimmen (rechts)

Bild 14.20: Vergleich stabiles Schwimmen (links) und labiles Schwimmen (rechts)

Was ist der Unterschied bei beiden Schiffen? Die relative Lage von Gewichts- und Auftriebsschwerpunkt ist entscheidend. Willst du, dass dein Schiff stets aufrecht schwimmt, muss du bei der Konstruktion (und auch bei der Beladung!) darauf achten, dass sich der Gewichtsschwerpunkt immer unterhalb des Auftriebsschwerpunkt befindet. Nur dann richtet das entstehende Drehmoment dein Schiff von alleine immer wieder auf (stabiles Schwimmen).

Früher waren diese physikalischen Gesetzmäßigkeiten noch unbekannt und Schiffe wurden hauptsächlich nach Erfahrung und Gefühl gebaut. Das wurde dem schwedischen Kriegsschiff Vasa zum Verhängnis. Durch die 64 Kanonen an Deck des Schiffes war der Gewichtsschwerpunkt so hoch, dass es beim Stapellauf 1628 kenterte und sank. Auch wenn ein Schiff stabil schwimmt, kann sich durch Überladung (Sewol Unglück) oder Verrutschen der Fracht (Belpamela Unglück) der Gewichtsschwerpunkt so ungünstig verändern, dass es zum Kentern des Schiffes kommt.

14.4.7 Statisches Tauchen

In Bild 14.21 siehst du einen sogenannten Cartesianischen Taucher (engl. Cartesian diver). Bei diesem einfachen – nach René Descartes benannten – Experiment, kannst du den Zusammenhang von Auftriebskraft und verdrängtem Flüssigkeitsvolumen direkt beobachten.

Animation eines Cartesianischen Tauchers

Bild 14.21: Animation eines Cartesianischen Tauchers

In einem unten offenen Gefäß – dem Taucher – befindet sich eine Luftblase. Der Taucher befindet sich in einer mit Flüssigkeit gefüllten, gasdicht verschlossenen Plastikflasche. Das verdrängte Flüssigkeitsvolumen besteht aus dem Taucher und der Luftblase. Die Gewichtskraft des Glases (und der Luft) zeigt nach unten. Der Auftrieb, den die Luftblase bewirkt, zeigt nach oben. Durch Zusammendrücken der Plastikflasche wird der Druck im Inneren der Flasche erhöht. Das lässt die eingeschlossene Luftblase schrumpfen – ihr Volumen wird kleiner. Dadurch wird der Auftrieb schwächer, während das Gewicht unverändert bleibt. Wird die Auftriebskraft kleiner als die Gewichtskraft, sinkt der Taucher in der Flasche zu Boden. Durch verringern des Drucks auf die Flasche, steigt der Taucher wieder. Wenn du geschickt bist, kannst du den Taucher in beliebiger Höhe schweben lassen. Dabei halten sich Gewichtskraft und Auftrieb die Waage.

Praktische Anwendung findet dieses Prinzip bei der Schwimmblase von Fischen und dem statischen Tauchen von Tauch- und U-Booten (Bild 14.22).

statisches Ab- und Auftauchen

Bild 14.22: statisches Ab- und Auftauchen

Damit ein U-Boot abtauchen kann, muss sein Auftrieb verringert werden. Dazu werden Hohlräume im Schiffsrumpf (Ballasttanks) mit Wasser geflutet. Zum Auftauchen muss der Auftrieb wieder erhöht werden. Dazu wird mit Pressluft aus Drucklufttanks das Wasser in den Ballasttanks wieder herausgedrängt.

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