12.5 Leiter in Magnetfeldern

12.5.1 Kraft auf einen stromführenden Leiter in Magnetfeldern

Bisher haben wir die Lorentzkraft auf einzelne bewegte Ladungen (12.2.1) kennen gelernt. Ein elektrischer Strom in einem Leiter besteht aus einer Vielzahl an Elektronen, die sich durch den Leiterquerschnitt bewegen. Auf ein stromdurchflossenes Leiterstück wirkt daher ebenfalls eine Lorentzkraft (Bild 12.43).

Lorentzkraft auf ein Leiterstück

Bild 12.43: Lorentzkraft auf ein Leiterstück

Richtung und Größe der Lorentzkraft wird durch ein Kreuzprodukt beschrieben. Die Gleichung lautet:

\[ \vec{F}_L = I\cdot \vec{\ell}\times\vec{B} \tag{12.7} \]

Beachte, dass die Stromstärke \(I\) zwar eine Richtung hat, mathematisch aber kein Vektor ist. Stattdessen ist die Länge des Leiterstücks ein Vektor. Der Richtungsvektor des Leiterstücks muss in die technische Stromrichtung zeigen, damit diese Gleichung stimmt.

Dieselbe Gleichung ohne Vektoren lautet

\[ F_L = I\cdot \ell\cdot B\cdot \sin(\alpha) \]

Wobei \(\alpha\) der Winkel zwischen Magnetfeldrichtung \(\vec{B}\) und der gerichteten Länge \(\vec{\ell}\) des Leiterstücks ist. Die Richtung der Lorentzkraft steht immer im rechten Winkel zur Stromrichtung und zur Magnetfeldrichtung. Ist der Sinus von \(\alpha\) null – Stromrichtung und Magnetfeldrichtung parallel oder anti-parallel – ist die Lorentzkraft null.

12.5.2 Herleitung der Lorentzkraft auf ein Leiterstück

Für die Herleitung gehen wir von einem geraden Stück Draht der Länge \(\ell\) aus, das mit der Stromstärke \(I\) durchflossen wird und sich in einem homogenen Magnetfeld \(B\) befindet (Bild 12.44).

Bewegung der Elektronen und Lorentzkraft auf ein Leiterstück

Bild 12.44: Bewegung der Elektronen und Lorentzkraft auf ein Leiterstück

Bewegen sich die Elektronen mit der konstanten Driftgeschwindigkeit \(v\) durch den Leiter, benötigen sie die Zeit

\[ t=\frac{s}{v}=\frac{\ell}{v} \]

um das Leiterstück zu durchqueren. Nach der Definition der Stromstärke (11.6.1) gilt

\[ \begin{aligned} I = {} & \frac{Q}{t}\qquad\Bigr\rvert\cdot t \\ I\cdot t = {} & Q\\ \end{aligned} \]

Setzen wir für die Zeit \(t\) ein, erhalten wir

\[ \begin{aligned} Q = {} & I\cdot t \\ Q = {} & I\cdot\frac{\ell}{v} \\ \end{aligned} \]

Setzen wir diese Ladungsmenge in die Formel für die Lorentzkraft ein, erhalten wir

\[ \begin{aligned} F_L = {} & Q\cdot v\cdot B \\ F_L = {} & I\cdot\frac{\ell}{v}\cdot v\cdot B \\ F_L = {} & I\cdot \ell\cdot B \\ \end{aligned} \]

die Lorentzkraft auf ein Leiterstück.

12.5.3 Merkregel für die Richtung der Lorentzkraft auf ein Leiterstück

Wenn du bedenkst, dass die technische Stromrichtung und die Bewegungsrichtung der positiven Ladungsträger in dieselbe Richtung zeigen, ist es nicht schwer die UVW-Regel (Ursache-Vermittler-Wirkung) für ein geladenes Teilchen (12.2.2) auch für die Lorentzkraft auf ein Leiterstück anzuwenden (Bild 12.45): Wie für positive Ladungsträger verwendest du die rechte Hand. Beginne – so wie beim Zählen mit den Fingern – mit dem Daumen:

  1. Finger (Daumen) zeigt in die (technische) Stromrichtung \(I\) (Ursache)
  2. Finger (Zeigefinger) zeigt in die Magnetfeldrichtung \(B\) (Vermittler)
  3. Finger (Mittelfinger) zeigt in die Richtung der Lorentzkraft \(F_L\) (Wirkung)
UVW Regel für elektrische Ströme

Bild 12.45: UVW Regel für elektrische Ströme

Stehen die Stromrichtung und Magnetfeldrichtung im rechten Winkel zu einander, bilden die Finger deiner rechten Hand ein Dreibein wie in Bild 12.45. Du kannst die UVW-Regel auch dann verwenden, wenn Magnetfeldrichtung und Stromrichtung einen Winkel ungleich \(90^\circ\) einschließen. Achte nur darauf, dass der Mittefinger immer im rechten Winkel zu deiner Handfläche abgespreizt wird.

12.5.4 Leiterschaukel-Experiment

Die Lorentzkraft auf ein Leiterstück kann zum Beispiel mit dem Leiterschaukel-Experiment gezeigt werden (Bild 12.46).

Leiterschaukel-Experiment

Bild 12.46: Leiterschaukel-Experiment

Eine lose aufgehängte Leiterschlaufe befindet sich im Feld eines Hufeisenmagneten (12.1.7). Wird der Strom eingeschaltet, kommt es zu einer deutlichen Bewegung der Leiterschlaufe. Befindet sich der Nordpol unten und zeigt die technische Stromrichtung von links nach rechts, bewegt sich die Leiterschleife – im Einklang mit der UVW-Regel für ein Leiterstück (12.5.3) – aus dem Hufeisenmagneten heraus. Wird die Stromrichtung oder die Polung des Hufeisenmagneten vertauscht, bewirkt die Lorentzkraft eine Bewegung der Leiterschlaufe in den Hufeisenmagneten hinein.

einzelne Magnetfelder (links) und überlagertes Magnetfeld (rechts)

Bild 12.47: einzelne Magnetfelder (links) und überlagertes Magnetfeld (rechts)

Im Bild 12.47 siehst du links das Magnetfeld des Hufeisenmagnets (braun) und das Magnetfeld des Leiters (12.4.1) in blauer Farbe. Im Bereich (a) verlaufen die Feldlinien anti-parallel und das Magnetfeld wird geschwächt. Im Bereich (b) verlaufen die Feldlinien parallel und das Magnetfeld wird verstärkt. Auf der rechten Seite siehst du die Überlagerung (Superposition 1.6.5) beider Felder. Auch am Feldlinienbild kannst du die Richtung der Lorentzkraft erkennen: Sie erfolgt in Richtung abnehmender Feldliniendichte. Stell dir vor, die Feldlinien bestünden aus gespannten Gummifäden. Bewegt sich der Leiter nach links, entspannen sich die Gummischnüre.

Links:

12.5.5 Messen der Lorentzkraft

In Bild 12.48 siehst du einen Versuchsaufbau, um die Lorentzkraft auf ein Leiterstück direkt zu messen.

Messung der Lorentzkraft auf ein Leiterstück

Bild 12.48: Messung der Lorentzkraft auf ein Leiterstück

Die Lorentzkraft auf die senkrechten Leiterstücke sind gleich groß und entgegen gesetzt. Alle seitlichen Kräfte heben sich also auf – die Nettokraft ist null. Wird der Federkraftmesser (3.5.6) vor dem Einschalten des Stroms auf null gestellt, kann die Lorentzkraft, die auf das waagrechte Leiterstück der Länge \(\ell\) wirkt, direkt auf der Skala abgelesen werden.

12.5.6 Kraft zwischen zwei parallelen stromführenden Leitern

Die Lorentzkraft (12.5.1) bewirkt eine Kraftwirkung zwischen zwei zueinander parallel angeordneten stromdurchflossenen Leitern. Fließen die Ströme anti-parallel kommt es zu einer abstoßenden Kraft (12.49, links). Fließen die Ströme hingegen parallel, kommt es zu einer anziehenden Kraft (??, rechts).

Kraft auf zwei parallele und zwei anti-parallele Leiter

Bild 12.49: Kraft auf zwei parallele und zwei anti-parallele Leiter

Die Richtung der Kraftwirkung kannst du dir mit Hilfe eines Leiter-Elektrons des linken Drahtes im Magnetfeld des rechten Drahtes herleiten (Bild 12.50). Die Magnetfeldrichtung des rechten Leiters ist durch die Rechte-Faust-Regel (12.4.2) festgelegt. Zeigt die technische Stromrichtung im linken Leiter nach unten, bewegen sich die negativen Leiter-Elektronen nach oben. Aus der Geschwindigkeitsrichtung des Elektrons und der Richtung des Magnetfeldes folgt nach der UVW-Regel für ein geladenes Teilchen (12.2.2) eine abstoßende Kraft.

Lorentzkraft auf ein Elektron durch das Feld eines stromführenden Leiters

Bild 12.50: Lorentzkraft auf ein Elektron durch das Feld eines stromführenden Leiters

Auch am Feldlinienbild der beiden Leiter kannst du die abstoßende Wirkung bei anti-parallelen Strömen erkennen. Im Bereich zwischen den Leitern zeigen die Magnetfeldlinien in dieselbe Richtung und verstärken sich. Links und rechts neben den Drähten verlaufen die Magnetfeldlinien in entgegengesetzter Richtung. In diesem Bereich schwächen sich die Felder (Bild 12.51, oben). Darunter siehst du die Überlagerung (Superposition 1.6.5) beider Felder. Die Kraftwirkung erfolgt in Richtung abnehmender Feldstärke.

Feld zweier anti-paralleler Leiter

Bild 12.51: Feld zweier anti-paralleler Leiter

Im Falle von zwei parallel fließenden Strömen zeigen die Magnetfeldlinien im Zwischenraum der beiden Leiter in entgegengesetzter Richtung. Dort wird das Feld geschwächt (Bild 12.52, oben). Links und rechts neben den Drähten verlaufen die Feldlinen in dieselbe Richtung und verstärken das Feld. Darunter siehst du die Überlagerung beider Felder. Die Kraftwirkung erfolgt in Richtung abnehmender Feldstärke – hier kommt es zu einer anziehenden Wirkung.

Feld zweier paralleler Leiter

Bild 12.52: Feld zweier paralleler Leiter

Links:

12.5.7 Ampèresches Kraftgesetz

Bisher haben wir nur die Kraftrichtung zwischen zwei parallelen stromführenden Leitern (12.5.6) betrachtet. Aber können wir die Größe der Kraft herleiten?

Lorentzkraft eines Leiters im Feld eines zweiten parallelen Leiters

Bild 12.53: Lorentzkraft eines Leiters im Feld eines zweiten parallelen Leiters

Die Kraft auf ein stromführendes Leiterstück der Länge \(\ell\) (12.5.1) des zweiten Leiters im Magnetfeld des ersten Leiters ist (Bild 12.53)

\[ F_{2} = I_2\cdot \ell\cdot B_1 \]

Wir kennen bereits die Formel für das Magnetfeld eines geraden stromdurchflossenen Leiters (12.4.1). Die magnetische Flussdichte \(B_1\) des Magnetfeldes des ersten Leiters beträgt in der Entfernung \(d\)

\[ B_1=\frac{\mu_0}{2\cdot\pi}\cdot \frac{I_1}{d} \]

Setzen wir diese magentische Flussdichte in die Formel für die Lorentzkraft ein, erhalten wir

\[ F_{2} = I_2\cdot \ell\cdot\left(\frac{\mu_0}{2\cdot\pi} \cdot \frac{I_1}{d}\right) = \frac{\mu_0}{2\cdot\pi}\cdot \frac{I_1\cdot I_2}{d}\cdot\ell \]

Dieselbe Formel ergibt sich, wenn wir die Kraft von Leiter zwei auf den Leiter eins berechnen. Daher können wir den Index bei der Kraft weg lassen. Die Beziehung

\[ \frac{F}{\ell} = \frac{\mu_0}{2\cdot\pi}\cdot\frac{I_1\cdot I_2}{d} \tag{12.8} \]

wird Ampèresches Kraftgesetz (engl. Ampère’s force law) genannt. Sie wurde bis 2019 dazu verwendet, die Basis-Einheit Ampere des Internationales Einheitensystem (1.7.2) festzulegen (Bild 12.54).

Definition der Einheit Ampere bis 2019

Bild 12.54: Definition der Einheit Ampere bis 2019

Befinden sich zwei parallele Leiter im Abstand von einem Meter und ist die Kraft pro einem Meter Leiter \(2\cdot10^{-7}\;\mathrm{N}\), beträgt die elektrische Stromstärke in beiden Leitern exakt \(1\;\mathrm{A}\).