10.8 Energie und Intensität einer Welle

In diesem Kapitel geht es um die Energie und Intensität von Wellen. Auf jedem Audiogerät gibt es eine Volume Einstellungsmöglichkeit für die Lautstärke (Bild 10.45). Auf einigen Geräten kannst du zusätzlich die loudness verändern. Was es mit dieser Einstellung auf sich hat, erfährst du weiter unten.

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Bild 10.45: Verstärker einer Stereoanlage

10.8.1 Energie einer Welle

Im Abschnitt Energie eines Oszillators (9.2.1) haben wir die Energie eines einzelnen Oszillators behandelt. Da ein Wellenmedium einer Aneinanderreihung von gekoppelten Oszillatoren entspricht, ergibt sich die Energie einer Welle als Summe der Energien aller Oszillatoren des Mediums. Gehen wir von lauter identischen, gleich schwingenden Oszillatoren aus, können wir die Masse \(m\) eines Oszillators durch die Gesamtmasse \(M=\sum m\) aller Oszillatoren ersetzen.

\[ E_{ges} = M\cdot 2\pi\cdot f ^2\cdot A^2 \]

Auch die Energie einer Welle wächst also mit dem Quadrat der Amplitude und dem Quadrat der Frequenz.

10.8.2 Intensität einer Welle

Bei den Experimenten mit der Wellenwanne (10.6.1) ist dir vielleicht aufgefallen, dass die Amplitude einer punktförmig angeregten Kreiswelle mit dem Abstand vom Erreger kleiner wird. Dabei geht keine Energie verloren. In einem größeren Abstand von dem Erreger teilt sich die Energie nur auf mehr Wasserteilchen auf.

Wir führen einen neuen Begriff ein:

Die Intensität \(I\) (engl. intensity) einer Welle ist die Energie \(E\) pro Zeit \(t\), die durch eine Fläche \(A\) normal zu der Ausbreitungsrichtung der Welle fließt.

Als Formel geschrieben

\[ I = \frac{1}{A}\cdot\frac{E}{t} \]

Mit der Definition der Leistung (4.4.1) erhalten wir

\[ \text{Intensität} = \frac{\text{Leistung}}{\text{Fläche}} \]

oder

\[ I = \frac{P}{A} \]

Beachte, dass \(A\) in dieser Formel nicht für die Amplitude, sondern für eine Fläche steht!

10.8.3 Einheit der Intensität

Einsetzen in die Definitionsgleichung für die Intensität liefert die Einheit

\[ [I] = \frac{[P]}{[A]} = \frac{\text{W}}{\text{m}^2} = \text{W}\cdot\text{m}^{-2} \]

Die Einheit „Watt pro Quadratmeter“ hat keinen eigenen Namen.

10.8.4 Schallpegel

Bei einer Frequenz von \(1000\;\mathrm{Hz}\) muss eine Schallwelle eine Intensität von nur \(10^{-12}\;\mathrm{W/m^{2}}\) besitzen, damit sie von einem menschlichen Ohr wahrgenommen werden kann (Hörschwelle). Bei dieser Intensität beträgt die Amplitude der Luftteilchen lediglich \(10^{-11}\;\mathrm{m}\). Wenn du bedenkst, dass die Größe von Molekülen bei \(10^{-10}\;\mathrm{m}\) liegt, kannst du dir vorstellen, wie unglaublich empfindlich unser Gehör ist.

Die größte Schallintensität, die unser Gehör verkraftet, liegt bei ungefähr \(1\;\mathrm{W/m^{2}}\) (Schmerzgrenze). Einen Knall mit doppelter Intensität empfinden wir nicht als doppelt so laut. Die objektiv gemessene Schallintensität und die subjektiv empfundene Lautstärke hängen über das Weber-Fechnersche Gesetz (9.1.5) zusammen. Daher wird die Lautstärke meistens nicht als Intensität, sondern in der Größe Schallpegel (engl. intensity level) angegeben.

Eine Schallintensität von \(I\) entspricht einem Schallpegel \(L\) von \[ L = 10\cdot\log_{10}\left(\frac{I}{I_0}\right) \] \(I_0=10^{-12}\;\mathrm{W/m^{2}}\) (Nullpegel) ist eine Konstante.

Der Schallpegel wird in der Einheit Dezibel (Abkürzung \(\mathrm{dB}\)) angegeben. Der Name der Einheit leitet sich von der Vorsilbe dezi für den Faktor 10 und dem Namen von Graham Bell, der als Erfinder des Telefons gilt, ab. Beachte: die Einheit schreibt man nur mit einem „l“.

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10.8.5 Hörbereich des Menschen

Im Diagramm 10.46 siehst du als weiße Fläche (Hörfläche) den gesamten Umfang des menschlichen Gehörs dargestellt. Nach rechts ist die Frequenz aufgetragen (logarithmischer Maßstab), nach oben der Schallpegel in Dezibel.

Hörfläche des Menschen image source

Bild 10.46: Hörfläche des Menschen

Messungen zeigen uns, dass sogar zwei Töne mit gleicher Schallintensität (Schallpegel), aber unterschiedlicher Frequenz unterschiedlich laut wahrgenommen werden. Daher gibt es noch die psychoakustische Größe Lautstärkepegel (engl. loudness) mit der Einheit Phon (bunte Linien in Bild 10.46). Bei einem fixen Wert (zum Beispiel \(30\;\mathrm{phon}\)) hörst du dieselbe Lautstärke egal bei welcher Frequenz. Bei der Frequenz \(1000\;\mathrm{Hz}\) entsprechen \(0\;\mathrm{dB}\) exakt \(0\;\mathrm{phon}\) (Schnittpunkt der strichlierten Linien).

Wenn du dir das Diagramm 10.46 genau ansiehst, kannst du erkennen, dass wir besonders hohe und besonders tiefe Frequenzen leiser wahrnehmen. Eine mögliche Erklärung könnte sein, dass sich der Frequenzbereich der menschlichen Stimme in der Mitte des Diagramms befindet. Vermutlich ist das Hören von Artgenossen für unser Überleben wichtiger als andere Geräusche und deshalb wird dieser Bereich stärker hervorgehoben. Die Einstellung loudness bei einem Audiogerät hebt den Schallpegel von hohen und tiefen Frequenzen an, damit wir diese Frequenzbereiche deutlicher hören können.